Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Те, кто готов принять понимание вероятности как степень уверенности, могут рассматривать теорему Байеса не как обычное математическое уравнение, а как своего рода совет, представленный в численном виде. Эта теорема предоставляет в наше распоряжение правило (по поводу которого мы сами решаем, придерживаться его или нет) относительно того, как следует корректировать степень своей уверенности в чем-то в свете новых наблюдений. В новой, более общей форме такая трактовка вероятности стала темой еще более ожесточенных дискуссий. Есть самые непреклонные сторонники байесовской теории, считающие, что все наши убеждения должны быть сформированы посредством строгих байесовских вычислений или как минимум настолько строгих, насколько их способно сделать такими наше ограниченное познание. Другие считают правило Байеса неопределенным качественным ориентиром.

Байесовского видения мира уже достаточно, чтобы объяснить, почему последовательность RBRRB выглядит случайной, тогда как RRRRR нет, хотя обе они в равной степени маловероятны. Когда мы видим RRRRR, это усиливает теорию (теорию о том, что колесо настроено так, чтобы шарик чаще выпадал на красное), которой мы уже присвоили некую априорную вероятность. Но как насчет RBRRB? Представьте себе человека, придерживающегося на редкость непредвзятого мнения о рулетке, который присваивает некую умеренную вероятность теории о том, что колесо рулетки работает под управлением скрытой машины Руба Голдберга [154]и выдает результат «красное, черное, красное, красное, черное». Почему бы нет? Увидев воочию, как шарик попадает в ячейки в последовательности RBRRB, такой человек найдет в этом веское доказательство в пользу данной теории.

Однако реальные люди совсем не так реагируют на вращение колеса рулетки, которое приводит к результату «красное, черное, красное, красное, черное». Мы не позволяем себе анализировать все абсурдные теории, которые можем построить, рассуждая логически. Наши априорные суждения не однообразные, а разнородные. Некоторым теориям мы присваиваем большой психологический вес, тогда как другие, такие как теория RBRRB, получают вероятность, практически неотличимую от нуля. Как мы выбираем теории, которым отдаем предпочтение? Как правило, простые теории нравятся нам больше, чем сложные; мы предпочитаем теории, основанные на аналогиях с тем, что нам уже известно, теориям, которые касаются совершенно новых явлений. Это может показаться несправедливым предубеждением, но без определенных предубеждений мы могли бы оказаться в состоянии непреходящего изумления. Ричард Фейнман описал подобный образ мыслей так:

Вы знаете, сегодня вечером со мной приключилась удивительная вещь: я шел сюда, на лекцию, и проходил через парковку. И вы не поверите, что произошло. Я увидел машину с номером ARW 357. Вы можете себе представить? Из всех миллионов машинных номеров в стране какова была вероятность того, что я увижу именно этот номер? Поразительно! [155] {149}

Если вы когда-либо употребляли самое популярное из не совсем легальных психотропных веществ, вам известно, что значит иметь слишком однообразные априорные суждения. Каждый стимул, который на вас воздействует, каким бы обыкновенным он ни был, кажется чрезвычайно значимым . Каждое событие захватывает все ваше внимание и требует, чтобы вы отреагировали на него. Это очень интересное психическое состояние, но оно не способствует тому, чтобы вы делали правильные выводы.

Байесовский подход объясняет, почему на самом деле Фейнман не был поражен: потому что он присваивает очень низкую априорную вероятность гипотезе о том, что некая космическая сила сделала так, чтобы он увидел номерной знак ARW 357 в тот вечер. Это объясняет, почему попадание шарика в красную ячейку пять раз подряд кажется нам «менее случайным», чем последовательность RBRRB: потому что первое приводит в действие теорию red, которой мы присвоили довольно большую априорную вероятность, тогда как второе нет. А число с нулем в конце кажется менее случайным, чем число с семеркой в конце, потому что первое подкрепляет теорию о том, что число, которое мы видим, представляет собой не точный итог, а приблизительную оценку.

Эта концептуальная схема помогает также решить некоторые загадки, с которыми мы уже сталкивались. Почему нас удивляет и даже вызывает подозрение, когда в розыгрыше лотереи два раза подряд выпадают номера 4, 21, 23, 34, 39, но этого не происходит, когда в один день выпадают номера 4, 21, 23, 34, 39, а на следующий день 16, 17, 18, 22, 39, хотя оба события в равной степени маловероятны? Безусловно, где-то в подсознании у вас уже сложилась какая-то теория – теория о том, что розыгрыши лотереи по какой-то причине с необычно высокой вероятностью выдают одни и те же номера подряд за короткий промежуток времени. Может быть, это происходит потому, что, по вашему мнению, владельцы лотереи подделывают результаты розыгрышей, либо потому, что некая космическая сила, любящая синхронию, придерживает весы фортуны, – не имеет значения. Возможно, вы верите в эту теорию не слишком сильно, а в глубине души считаете, будто существует один шанс из сотни тысяч, что действительно есть такое смещение в пользу повторяющихся номеров. Но это гораздо больше априорной вероятности, которую вы присваиваете теории о существовании тайного заговора в пользу сочетания 4, 21, 23, 34, 39 и 16, 17, 18, 22, 39. Именно эта теория совсем уж бредовая, но ведь вы не под воздействием наркотиков, поэтому и не обращаете на нее никакого внимания.