Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Вероятность того, что теория black истинна, равна 1,5 %.

Вероятность того, что теория fair истинна, равна 86,5 %.

Вероятность того, что теория red истинна, равна 12 %.

Степень вашей уверенности в истинности теории red увеличилась почти в два раза, тогда как уверенность в теории black почти полностью сошла на нет. Этого и следовало ожидать! Вы видите, как шарик выпадает на красное пять раз подряд, так почему бы вам не начать более серьезно подозревать, что игра нечестная?

Шаг «разделить все на 0,0325» может показаться ситуативным трюком. Но на самом деле это действительно необходимо сделать. Если вам трудно понять это на интуитивном уровне, вот еще одна картина происходящего, которая многим нравится больше. Представьте себе, что есть десять тысяч колес рулетки. И есть десять тысяч комнат, в которых находятся разные колеса, и за каждым колесом играет какой-то человек. Один из людей, играющих в рулетку, – это вы. Но вы не знаете, какое именно колесо вам досталось! В таком случае можно построить модель вашего незнания истинного характера колеса, предположив, что среди исходных десяти тысяч колес в пяти сотнях колес было сделано больше черных ячеек, еще в пяти сотнях больше красных ячеек (red), а в остальных девяти тысячах колес равное количество черных и красных ячеек (fair).

Выполненные выше расчеты говорят о том, что последовательность RRRRR может быть в случае 281 колеса fair, 39 колес red и только 5 колес black. Следовательно, получив последовательность RRRRR, вы все равно не знаете, в какой из десяти тысяч комнат находитесь, но вам удалось существенно сократить количество вариантов: вы находитесь в одной из 325 комнат, в которых шарик выпал на красное пять раз подряд. А среди этих комнат в 281 из них (около 86,5 %) колеса fair, в 39 (12 %) колеса red и только в 5 (1,5 %) колеса black.

Чем больше шариков попадает в красные ячейки, тем более благосклонно вы будете относиться к теории red (и тем меньше будете доверять теории black). Если вы увидели бы, как шарик попадает в красные ячейки десять раз подряд, а не пять, те же вычисления повысили бы вашу оценку вероятности истинности теории red до 25 %.

Мы с вами рассчитали, как степень нашей уверенности в истинности различных теорий должна измениться после того, как шарик попадет в красную ячейку пять раз подряд. Полученная величина называется «апостериорная вероятность». Подобно тому как априорная вероятность описывает степень вашей уверенности в истинности теории до получения эмпирических данных, апостериорная вероятность характеризует степень уверенности после получения данных. При этом мы делаем байесовский вывод , поскольку переход от априорной к апостериорной вероятности основан на старой формуле теории вероятностей, которая называется теоремой Байеса . Эта теорема представлена в виде короткого алгебраического выражения, которое я вполне мог бы написать для вас прямо здесь и сейчас. Но я попытаюсь не делать этого, поскольку, если вы начнете применять формулу сугубо механически, не задумываясь о сложившейся ситуации, это может затруднить понимание того, что происходит на самом деле. Все, что вам нужно знать о происходящем здесь, уже можно увидеть в представленной выше матрице [153].

Апостериорная вероятность зависит не только от эмпирических данных, которые вы получаете, но и от априорной вероятности. Циник, который начал с априорной вероятности теорий black, fair и red, равной 1/3, отреагирует на пять красных ячеек подряд апостериорной оценкой, согласно которой вероятность истинности теории red равна 65 %. Доверчивый человек, который начинает с присвоения теории red вероятности всего 1 %, даст ей шанс быть истинной всего 2,5 % даже после того, как шарик выпадет на красное пять раз подряд.

В байесовской системе степень вашей уверенности в чем-то после получения эмпирических данных зависит не только от того, о чем говорят эти данные, но и от того, в какой степени вы были уверены в этом в самом начале.

Это может показаться настораживающим. Разве наука не должна быть объективной? Вам хотелось бы заявить, что ваши убеждения основаны на одних только фактах, а не на каких-то априорных предубеждениях, с которыми вы вошли в эту дверь. Но давайте посмотрим правде в глаза: на самом деле ни у кого убеждения не формируются таким способом. Если в результате эксперимента получены статистически значимые доказательства, что новая модификация существующего лекарственного препарата замедляет развитие некоторых разновидностей рака, скорее всего вы будете достаточно уверены в эффективности нового препарата. Но, если вы получите те же результаты, поместив пациентов в пластиковую модель Стоунхенджа, разве примете вы, пусть даже неохотно, вывод, что это древнее сооружение действительно фокусирует энергию колебаний Земли на организме человека и останавливает развитие опухоли? Нет, не примете, потому что это полная чушь. Вы подумаете, что, по всей видимости, Стоунхенджу просто повезло. У вас разные априорные оценки этих двух теорий, поэтому в итоге вы по-разному интерпретируете эмпирические данные, несмотря на то что в численном выражении они одинаковы.