Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Скорее всего, это вас не удивляет. Последовательность RRRRR почему-то не кажется случайной, как в случае последовательности BBRBR, хотя вращение колеса рулетки может привести к появлению обеих последовательностей с равной вероятностью. Что происходит? Что мы на самом деле подразумеваем, когда говорим, что одна последовательность букв «менее случайна», чем другая [150]?

Вот еще один пример. Быстро загадайте число от 1 до 20.

Вы выбрали 17?

Да, этот фокус не всегда срабатывает, но если вы предложите людям выбрать число от 1 до 20, число 17 выбирают чаще всего {145}. А если вы попросите выбрать число от 0 до 9, чаще всего выбирают 7 {146}. Напротив, числа, которые заканчиваются на 0 и 5, выбирают гораздо реже, чем можно было бы ожидать от ряда случайных чисел, – они просто кажутся людям менее случайными. Это приводит к возникновению парадокса. Подобно тому как участники эксперимента с парапсихологическим радио пытались составить случайные последовательности R и B, получив в итоге совершенно неслучайный результат, так и люди, выбирающие случайные числа, склонны делать выбор, заметно отклоняющийся от случайности.

В Иране в 2009 году проводили президентские выборы, которые выиграл действующий на то время президент Махмуд Ахмадинежад. После этого появилось множество обвинений, что результаты выборов были сфальсифицированы. Но как можно проверить легитимность подсчета голосов в стране, правительство которой не допустило к участию в этом процессе независимых наблюдателей?

Двое студентов магистратуры Колумбийского университета Бернд Бебер и Александра Скаццо придумали хитрый способ использовать сами числа в качестве доказательства фальсификации, по сути «убедив» официальные данные о подсчете голосов свидетельствовать против самих себя {147}. Они проанализировали официальные общие результаты четырех основных кандидатов в каждой из двадцати девяти провинций Ирана, то есть всего 116 чисел. Если это были бы подлинные результаты голосования, последние цифры чисел могли быть только случайными. Они должны были быть случайным образом распределены среди цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, причем почти равномерно: каждая из этих цифр должна была появиться в результатах подсчета голосов в 10 % случаев.

Но вот как выглядели результаты подсчета голосов в Иране на самом деле. Среди последних цифр проанализированных чисел было слишком много цифр 7, гораздо больше справедливой доли. Это были не цифры, полученные в результате случайного процесса, а цифры, написанные людьми, которые пытались придать им случайный вид . Само по себе это не является доказательством, что результаты выборов были сфальсифицированы, но дает основания так считать [151].

Мы, люди, всегда делаем умозаключения, всегда используем наблюдения, для того чтобы уточнить свои суждения по поводу различных конкурирующих теорий, сталкивающихся друг с другом в рамках нашего представления о мире. В некоторых концепциях мы убеждены твердо, почти непоколебимо («Завтра солнце взойдет», «Когда вы выпускаете вещи из рук, они падают»), но в других уверены менее («Если сегодня я сделаю зарядку, то буду хорошо спать ночью», «Телепатии не существует»). У нас есть теории по поводу большого и малого, по поводу того, с чем мы сталкиваемся каждый день, и того, с чем мы столкнулись лишь один раз в жизни. Когда мы находим доводы за или против этих концепций, наша уверенность в них колеблется то в одну, то в другую сторону.

Наша стандартная теория в отношении колеса рулетки состоит в том, что на нем равное количество красных и черных ячеек, а также что шарик с одинаковой вероятностью попадает на красное или на черное. Но есть и конкурирующие теории: например, на колесе больше ячеек того или иного цвета [152]. Давайте упростим ситуацию и будем исходить из предположения, что в вашем распоряжении есть только три теории.

red (больше красных ячеек): колесо сделано так, чтобы шарик попадал на красное в 60 % случаев.

fair (равное количество ячеек): на колесе равное количество ячеек обоих цветов, поэтому шарик в половине случаев попадает на красное и в половине случаев – на черное.

black (больше черных ячеек): колесо сделано так, чтобы шарик попадал на черное в 60 % случаев.

Какую степень достоверности вы приписываете этим трем теориям? Возможно, вы считаете, что на колесе рулетки одинаковое количество черных и красных ячеек, если только у вас нет оснований думать иначе. Может быть, по вашему мнению, равное количество ячеек (fair) – это правильная теория с вероятностью 90 %, что оставляет по 5 % теории о том, что больше черных ячеек (black), и теории о том, что больше красных ячеек (red). Мы можем нарисовать для этой ситуации такую же матрицу, как и для списка Facebook.