Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Лозунг, который следует взять на вооружение, выглядит так: не говорите о процентах от величин, если эти величины могут быть отрицательными .

Такой подход кому-то покажется чрезмерно осторожным. Отрицательные величины – это числа, а значит, их можно умножать и делить, как и всякие другие числа. Но даже здесь не все так просто, как кажется. Для наших математических предшественников было далеко не очевидно, что отрицательные величины – это тоже числа, ведь по большому счету они не передают количество так, как это делают положительные числа. У меня в руках может быть семь яблок, но не минус семь [76]. Великие алгебраисты XVI столетия, такие как Джироламо Кардано и Франсуа Виет, ожесточенно спорили по поводу того, является ли произведение двух отрицательных чисел положительным числом. Точнее говоря, они понимали, что принцип непротиворечивости требует, чтобы это было так, но расходились во мнениях, является ли это доказанным фактом или только удобным элементом системы обозначения. Когда среди решений уравнений, которые изучал Кардано, появлялись отрицательные решения, он имел обыкновение называть их ficta [77], или пустышками {53}.

Споры итальянских математиков эпохи Возрождения порой могут показаться такими же непонятными и не имеющими отношения к нам, как и их теологические воззрения. Но они не ошибались в одном: в сочетании отрицательных величин и в таких арифметических операциях, как вычисление процента, есть нечто такое, что противоречит интуиции. В случае несоблюдения предложенного выше принципа начнут всплывать самые разные абсурдные ситуации.

Предположим, я управляю работой кафе. К сожалению, люди ко мне не заходят, и торговля кофе идет плохо; в прошлом месяце на этом бизнесе я потерял 500 долларов. К счастью, я проявил себя как вполне дальновидный предприниматель и установил в своем кафе не только кондитерскую витрину, но и стойку для CD-дисков – эти два направления принесли мне по 750 долларов прибыли каждое.

Всего я заработал в этом месяце 1000 долларов, и 75 % от этой суммы были получены за счет кондитерской витрины. Создается впечатление, что кондитерская витрина продвигает почти весь мой бизнес, а моя прибыль зависит от круассанов. Однако было бы столь же корректно утверждать, что 75 % моей прибыли получено за счет CD-дисков. Но представьте, что я теряю на кофе еще 1000 долларов – тогда моя совокупная прибыль равнялась бы нулю, бесконечный процент от которой поступал бы от кондитерских изделий! [78]На первый взгляд может показаться, что «семьдесят пять процентов» означает «почти все», но, когда вы имеете дело с числами, которые могут быть либо положительными, либо отрицательными (как данные о прибыли), это может означать нечто совсем иное.

Данная проблема никогда не возникает, когда вы изучаете числа, которые могут быть только положительными , как в случае расходов, доходов или численности населения. Если 75 % американцев считают, что Пол Маккартни был самым симпатичным битлом, тогда невозможно, чтобы еще 75 % отдали дань Ринго Старру; оставшиеся 25 % пришлось бы разделить между собой Ринго, Джорджу [79]и Джону.

Такой же феномен можно увидеть и в данных об уровне занятости. Майкл Спенс и Сендиле Хлатшвайо имели возможность отметить в своем докладе, что в сфере финансов и страхования возникло 600 тысяч новых рабочих мест – почти 100 % общего количества рабочих мест, созданных в экспортном секторе в целом. Но они не упомянули об этом, поскольку не пытались обманным путем заставить нас поверить, что за тот период не было роста больше ни одном секторе экономики страны. Возможно, вы помните, что в экономике США был как минимум еще один сектор, в котором за период с 1990 года до настоящего времени создали множество рабочих мест, – сектор, классифицирующийся как «проектирование компьютерных систем и сопутствующие услуги». В нем в три раза увеличилась численность рабочей силы и было создано более миллиона рабочих мест. Общее количество рабочих мест, созданных в области финансов и вычислительной техники, существенно превышало 620 тысяч рабочих мест, появившихся в экспортном секторе экономики, однако эффект такого прироста нейтрализовали огромные потери в производственной сфере. Сочетание положительных и отрицательных величин приводит (в случае невнимательного отношения) к созданию фиктивной картины происходящего, согласно которой вся работа по созданию рабочих мест в экспортном секторе была выполнена в финансовой отрасли.