Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Возникает ощущение, будто нечто воздействует на то, как это происходит. Вполне допускаю, что подобное ощущение было и у самого де Муавра. Согласно многим свидетельствам, он рассматривал закономерности в поведении монет при многократном подбрасывании (или в любом другом эксперименте при наличии фактора случайности) как проявление воли Бога, превращавшего любые кратковременные особенности монет, игральных костей и человеческих жизней в предсказуемое долгосрочное поведение, которым управляют непреложные законы и поддающиеся расшифровке формулы {48}.

Однако такое ощущение опасно, поскольку как только вы примете за истину, будто чья-то трансцендентальная воля (Божья ли, Госпожи ли Удачи или Лакшми [71] – чья конкретно, не имеет значения) подталкивает монеты к тому, чтобы они выпадали лицевой стороной вверх в половине случаев, вы сразу начинаете верить в так называемый закон средних: если пять монет подряд выпадают аверсом, тогда следующая почти наверняка выпадет реверсом. Если у кого-то есть три сына, следующей наверняка будет дочь. В конце концов, разве де Муавр не говорил нам, что крайние результаты (такие как четыре сына подряд) в высшей степени маловероятны? Говорил, и так оно и есть на самом деле. Тем не менее, если у вас уже есть три сына , возможность того, что четвертым тоже будет сын, далеко не маловероятна. В действительности вероятность, что у вас снова будет сын, такая же, как если это был бы ваш первый ребенок [72].

На первый взгляд может показаться, что это противоречит закону больших чисел, который должен был бы разделить ваше потомство в равных частях на девочек и мальчиков [73]. Однако это только кажущееся противоречие. Легче понять, что происходит, на примере монет. Я мог бы начать подбрасывать монеты и получить 10 аверсов подряд. Что произойдет далее? Прежде всего вы заподозрите, будто что-то не так с вашей монетой. Во второй части книги мы вернемся к этому вопросу, но пока будем исходить из предположения, что монета у нас правильная. Итак, закон гласит: по мере того как я подбрасываю монету все больше и больше раз, относительная доля выпавших аверсов должна приближаться к 50 %.

Здравый смысл говорит, что теперь – дабы скорректировать существующий дисбаланс – вероятность выпадания реверсов должна быть немного выше.

Но тот же здравый смысл еще более настойчиво утверждает: монета никак не в состоянии помнить, что с ней происходило, когда я подбрасывал ее первые десять раз!

Не хочу держать вас в неведении. Здравый смысл прав во втором случае. Закон средних получил не очень подходящее название, поскольку законы должны быть истинными, а этот закон ложный. У монет нет памяти, а значит, у следующей монеты, которую вы подбросите, такой же шанс 50 на 50 выпасть лицевой стороной вверх, что и у любой другой. Общая относительная доля монет стремится к 50 % вовсе не по причине благоволения судьбы к реверсам – дабы компенсировать уже выпавшие аверсы. Причина в том, что чем больше вы подбрасываете монету, тем больше уменьшается влияние первых десяти подбрасываний. Если я подброшу монету еще тысячу раз и получу при этом примерно половину аверсов, то их доля в серии первых 1010 подбрасываний также приблизится к 50 %. Именно так работает закон больших чисел: не уравновешивая то, что уже произошло, а разбавляя произошедшее новыми данными до тех пор, пока прошлое станет настолько пропорционально незначительным, что его вполне можно будет забыть.

Что применимо к монетам и результатам тестов, также относится к массовым убийствам и геноциду. Если оценивать количество погибших в доле от численности населения страны, худшие преступления будут сосредоточены в самых маленьких странах. Мэтью Уайт, автор довольно мрачной книги Great Big Book of Horrible Things («Большая книга ужасов»), расположив кровопролития ХХ столетия именно в таком порядке, пришел к выводу, что первые три места занимают следующие преступления: уничтожение племени гереро в Намибии германскими колонистами; массовое убийство камбоджийцев Пол Потом; война короля Леопольда в Конго {49}. В этот список не входят ни Гитлер, ни Сталин, ни Мао и ни огромные массы людей, которых истребили эти деятели.

Подобное смещение оценки в сторону стран с меньшей численностью населения создает проблему: где наше подкрепленное математическими выкладками правило, позволявшее бы точно определять, насколько тяжело нам воспринимать новости о гибели людей в Израиле, Палестине, Никарагуа или Испании?