Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Если быть точным, Рассел не был формалистом, таким как Гильберт, заявивший, что аксиомы – это всего лишь последовательности символов, не имеющих определенного смысла. Рассел был скорее «логицистом», по мнению которого, аксиомы являются истинными утверждениями о логических фактах. Сторонники обеих точек зрения были весьма заинтересованы в том, чтобы понять, какие утверждения можно вывести из аксиом. То, насколько вы считаете это различие важным, служит хорошим показателем, понравится ли вам изучать аналитическую философию в магистратуре.

Известная версия парадокса Рассела для застольных обсуждений: «В деревне живет парикмахер, который бреет всех жителей деревни кроме тех, кто бреется сам. Кто бреет парикмахера?» Прим. М.Г.

Они таки на самом деле это делают!

К. Рид . Гильберт. С. 20. Прим. ред.

Всем, кого интересует математическое творчество или, если уж на то пошло, любой другой творческий процесс, я настоятельно рекомендую прочитать эссе Пуанкаре Mathematical Creation («Математическое творчество»).

А. Пуанкаре . Математическое творчество / Пер. с фр. Т. Д. Блохинцевой и А. С. Шибанова // А. Пуанкаре О науке / Под ред. Л. С. Понтрягина. М.: Наука, 1990. С. 405. Прим. ред .

Тем не менее существует иная точка зрения. В своей книге Infinitesimal («Бесконечно малые») Амир Александер утверждает, что в XVII веке именно сугубо формалистская позиция, представленная классической евклидовой геометрией, ассоциировалась с жесткой иерархией и иезуитской ортодоксией, тогда как более интуитивная и менее строгая доньютоновская теория бесконечно малых величин была связана с более прогрессивной и демократической идеологией; см.: A. Alexander . Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. New York: Farrar, Straus and Giroux (FSG), 2014.

К. Рид . Гильберт. С. 180–181. Прим. ред.

К. Рид . Гильберт. С. 272–273. Прим. ред.

Правда, есть одна система голосования, к которой теорема Эрроу неприменима , – голосование по одобрительному принципу, когда нет необходимости заявлять обо всех своих предпочтениях; вы просто отдаете свой голос за любое количество кандидатов, чьи имена включены в избирательный бюллетень, и кандидат, набравший максимальное количество голосов, побеждает. Большинство знакомых мне математиков считают одобрительное голосование и его варианты системой более совершенной, чем голосование большинством голосов и преференциальное голосование. Такая система использовалась при выборах пап, генеральных секретарей ООН и руководителей Американского математического общества, но еще никогда – для избрания правительственных должностных лиц в Соединенных Штатах.

Ж. А. Кондорсе . Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума / Пер. И. А. Шапиро. М.: Государственное социально-экономическое издательство, 1936. С. 222–223. Прим. ред.

Автор имеет в виду книгу Томаса Мальтуса Essay on the Principle of Population (1798), см. на русском языке: Т. Р. Мальтус . Опыт закона о народонаселении. СПб., 1895. Прим. ред.

Такую же точку зрения, как у Рузвельта, мы находим в пьесе Шекспира «Отелло» – ярко выраженный антагонизм между «кабинетной ученостью» и мужественностью. В первой же сцене Яго с презрением отзывается о своем сопернике Кассио: «…Великий арифметик… вовеки взвода в поле не водивший и мыслящий в баталиях не больше, чем пряха» [пер. Михаила Лозинского. Прим. М. Г. ]. Ровно на этой минуте любой математик, сидящий в зрительном зале, понимает, что Яго – настоящий злодей.

Название стихотворения состоит из второй части пословицы Least said, soonest mended, русским эквивалентом которой можно считать пословицы «Словами делу не поможешь» и «Больше дела – меньше слов». Прим. ред.

Пер. Яна Пробштейна; стихотворение «Словами делу» опубликовано на литературном портале «Стихи.ру» ( http://www.stihi.ru/2013/02/14/1976). Прим. ред.

Вторая и последняя часть стихотворения «Словами делу» начинается со строк: «These then were some hazards of the course / Yet though we knew the course was hazards and nothing else» («Такими были опасности на избранном пути, / Хотя мы знали, что весь путь и был опасность, и больше ничего…»). Эшбери, десять лет проживший во Франции, наверняка держал в уме, что английское hasard , означающее «опасность; азарт; риск», заимствовано из французского, где hasard имеет значения «шанс; риск; везение». Такой выбор слова создает общий настрой неумолимой неопределенности, пронизывающий все стихотворение. В конечном счете hasard восходит к арабскому al-zahr «игральная кость», поэтому мы допускаем, что Паскаль, обсуждая с Ферма концепцию выбора ставок, вполне мог бы воспользоваться фразой jeux de hasard (фр. «азартные игры»).