Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Однако Вольтер не понял главного. Интересно то, что пари Паскаля звучит весьма современно – настолько современно, что Вольтер просто не уловил суть. Вольтер прав в том, что, в отличие от Вицтума и других искателей библейских кодов, или Арбетнота, или современных сторонников теории разумного замысла, Паскаль не предлагает никаких доказательств существования Бога. На самом деле он говорит только о причине для веры, но эта причина должна быть связана с полезностью веры, а не с ее обоснованием. В каком-то смысле Паскаль предвосхищает суровую позицию Неймана и Пирсона, о которой шла речь в главе девятой. Как и они, он скептически относился к идее, что доказательства, с которыми мы сталкиваемся, откроют перед нами надежный способ определения, что является истинным. Однако нам не остается ничего другого, как решать, что делать . Паскаль не пытается убедить вас в том, что Бог есть; он пытается донести до вас мысль, что вам выгодно верить в это, а значит, ваш лучший курс действий – общаться с христианами и демонстрировать благочестие в разных его формах до тех пор, пока в силу самой близости с верующими вы сами не начнете по-настоящему верить. Могу ли я сформулировать аргументацию Паскаля на современном языке лучше, чем это сделал Дэвид Фостер Уоллес в романе Infinite Jest («Бесконечная шутка»)? Нет, не могу.

Отчаявшихся, потерявших надежду людей, которые только что встали на путь трезвости, неизменно поощряют и призывают хотя бы на словах поддерживать лозунги, которых они еще не понимают и в которые не верят – скажем, «Медленно, но верно!», «Двигайся дальше!» или «Шаг за шагом!». Это называется «Притворяйся, пока это не станет правдой» – фраза, которая сама по себе часто используется как лозунг. Каждый, кто взял на себя Обязательство, поднимается со своего места, чтобы выступить перед другими членами группы, и начинает со слов о том, что он алкоголик, и говорит, считает ли так он сам или нет. Затем каждый из присутствующих произносит, как благодарен он за то, что сегодня трезв, а также как замечательно вместе с группой работать над выполнением Обязательства – и все это говорится даже тогда, когда человек не испытывает ни благодарности, ни удовлетворения. Вас заставляют говорить все это до тех пор, пока вы не начнете в это верить. Однажды вы спросите человека, который уже давно ведет трезвый образ жизни, сколько еще вам придется таскаться на эти треклятые собрания, а он улыбнется так, что это едва не выведет вас из себя, и скажет: пока ты не захочешь ходить на эти треклятые собрания.

Ютили могут пригодиться при принятии решений по поводу того, что не имеет четко определенной денежной стоимости, например зря потраченное время или неприятная еда. Но о полезности необходимо говорить даже в тех случаях, когда речь идет о чем-то имеющем определенную денежную стоимость – скажем, о деньгах.

Осознание этого пришло еще в самом начале развития теории вероятностей. Подобно многим другим важным открытиям, эта идея впервые была сформулирована в виде головоломки. Даниил Бернулли описал ее в 1738 году, в труде Exposition on a New Theory of the Measurement of Risk («Опыт новой теории измерения жребия») [194]:

Петр бросает вверх монету, пока она не упадет лицевой стороной вверх; если это произойдет после первого броска, он должен дать Павлу 1 дукат, но если только после второго – 2 дуката, после третьего – 4, после четвертого – 8 и так далее, так что после каждого броска число дукатов удваивается [195].

Очевидно, что для Павла это достаточно привлекательный сценарий игры, за участие в которой он готов выложить какую-то сумму. Но какую именно? Учитывая наш опыт с лотереями, естественный ответ сводится к тому, чтобы вычислить ожидаемую ценность суммы денег, которую Павел получит от Петра. Вероятность того, что монета упадет лицевой стороной вверх после первого же броска, составляет 50 на 50, и в этом случае Павел получит один дукат. Если после первого броска выпадет реверс, а после второго аверс (событие, которое происходит в одном из четырех случаев), Павел получит два дуката. Чтобы он получил четыре дуката, в первых трех бросках монета должна упасть так: реверс, реверс, аверс (что происходит с вероятностью 1/8). Если продолжить этот ряд и просуммировать его отдельные элементы, ожидаемая прибыль Павла составит:

(1/2) × 1 + (1/4) × 2 + (1/8) × 4 + (1/16) × 8 + (1/32) × 16 +…

или

1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 +…

Данная сумма не является числом. Это расходящийся ряд : чем больше членов вы складываете, тем больше становится сумма, увеличиваясь до бесконечности и превышая любой конечный предел [196]. На первый взгляд может показаться, что Павел готов заплатить любое количество дукатов за право принимать участие в игре.