Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

Возьмем их и предыдущие полудюжины чисел и построим новое число:

(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 59 × 509) + 1,

что равно 901 830 931. Кости выпали так, что число оказалось простым [23] Есть изощренные методы, позволяющие установить, является число простым или составным. С их помощью можно легко решить эту задачу даже на домашнем компьютере. .

Мы можем добавить его в наш перечень и наштамповать так еще много чисел – либо простых, либо разложимых на простые множители. Эта операция позволяет бесконечно получать все новые и новые простые числа.

Это не единственное доказательства того, что простых чисел бесконечно много. Вот вам еще одно.

Как и в первом доказательстве, предположим, что количество простых чисел конечно, и покажем, что это предположение ведет к противоречию. Представим, что самое большое простое число равно P , и составим перечень простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, …, P .

Пусть N – результат перемножения всех этих чисел:

N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P .

Теперь давайте подумаем обо всех числах от 1 до N включительно. Каждое из них (за исключением 1) делится на одно или несколько простых чисел; иными словами, любое число (кроме 1) делится на какое-то простое число.

Сколько чисел от 1 до N делится на 2? Очевидно, что половина (четные числа). Вычеркнем их и оставим лишь нечетные:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, …

Количество целых чисел между 1 и N , которые мы вычеркнули, равно N / 2.

Вычеркнем из оставшихся чисел те, которые делятся на 3. Вот что получится:

1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, …

Мы удалили треть оставшихся чисел [24] Вообще говоря, это утверждение надо доказать. В частности, надо доказать, что удалена точно, а не приблизительно треть. – Прим. науч. ред. . Осталось две трети, а от изначального количества –

Продолжим в том же духе и вычеркнем числа, делящиеся на 5, удалив таким образом пятую часть оставшихся чисел. Получится чисел. Вот что останется:

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, …

Дальше мы вычеркиваем числа, делящиеся на 7, оставив шесть седьмых от нашего перечня, и будем двигаться по этому пути, пока не дойдем до числа P .

В конце концов количество тех чисел, которые мы не вычеркнули, станет равно

Так как все числа от 1 до N , кроме 1, делятся на какое-то простое число, выражение (C) должно быть равно 1. Верно? Вспомним, что N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P , подставим это произведение в выражение (C) и перегруппируем множители:

Это дает 1 × 2 × 4 × 6 × … × ( P – 1), что существенно больше 1! Выражение (C) должно быть равно 1, но очевидным образом не равно 1. Ошибка заключалась в изначальном предположении о том, что количество простых чисел конечно. Следовательно, их бесконечно много.

Есть много захватывающих вопросов о простых числах. Здесь я расскажу про две самые печально известные проблемы.

Хотя простых чисел бесконечно много, они встречаются все реже и реже, когда мы последовательно двигаемся от единицы к бесконечности. Позже (в главе 7) мы проанализируем среднюю разность между двумя соседними большими простыми числами. Однако простые числа все равно часто встречаются рядом, отличаясь на две и более единицы (единственная пара с отличием на один – 2 и 3). Если простые числа отличаются на две единицы, их называют простыми числами-близнецами , или парными простыми числами . Наименьшая пара близнецов – числа 3 и 5. Между 1 и 10 000 есть 205 пар близнецов, последние – числа 9929 и 9931.

Вопрос: простых чисел-близнецов бесконечно много?

Надо признать, что это неизвестно до сих пор.

Вот другой вопрос. Принято считать, что впервые его поставил немецкий математик Кристиан Гольдбах (1690–1764). Ему стало любопытно: какие четные числа (кроме 2) можно представить в качестве суммы двух простых? Вот пример:

Вопрос: можем ли мы продолжать этот ряд бесконечно? Гольдбах предположил, что любое четное число (за исключением 2) представляет собой сумму двух простых.