Эдвард Шейнерман: Путеводитель для влюбленных в математику

Простые числа

Физик Ричард Фейнман [13] Ричард Фейнман (1918–1988) – американский физик-теоретик, один из разработчиков атомной бомбы, лауреат Нобелевской премии 1965 года «за фундаментальные работы по квантовой электродинамике, имевшие глубокие последствия для физики элементарных частиц». – Прим. пер. верил: если человечество столкнется с опасностью потери всего научного знания, но у него будет возможность передать потомкам всего одну фразу о науке, эта фраза должна описывать, как атомы образуют материю [14] Вот фраза Фейнмана: «Все вещи состоят из атомов – крохотных частиц; они пребывают в бесконечном движении, притягивая друг друга, когда расстояние между ними невелико, и отталкивая друг друга, когда сжаты вместе». . Продолжим фантазировать в том же духе. Если бы мы могли передать следующему поколению всего одну математическую идею, это, как мне кажется, должен быть ответ на вопрос: как много существует простых чисел?

Математическая мысль начинается со счета. Мы используем для счета натуральные числа: 1, 2, 3 и т. д. Отсутствие объектов для счета – и необходимость подобрать число для этого отсутствия – приводит нас к понятию нуля. Когда мы складываем или умножаем натуральные числа, результат всегда представляет собой другое натуральное число. Но вычитание внушает беспокойство. Все хорошо, когда мы вычитаем три из пяти: 5 – 3, но если мы поступим наоборот, то получится 3 – 5, и результат не будет натуральным числом. Мы восполняем этот недостаток, вводя отрицательные числа: –1, –2, –3 и т. д.

Множество всех натуральных и полученных при их вычитании отрицательных чисел вместе с нулем называют целыми числами . Математики используют стилизованную букву Z, чтобы обозначить все целые числа:

ℤ = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.

Когда мы делим целые числа друг на друга, возникает загвоздка. В то время как мы можем складывать, перемножать целые числа и вычитать их друг из друга в полной уверенности, что получим целое число, результат деления одного целого числа на другое иногда оказывается целым числом, а иногда и нет.

Возьмем два положительных целых числа а и b . Мы говорим, что а делится на b , если частное a / b – тоже целое число. Мы называем a – делимым, b – делителем .

Например, 24 делится на 6 (потому что частное от деления – целое число), но не на 7 (потому что частное не является целым числом). Всякое положительное целое число делится само на себя: если а – положительное целое число, то частное от а / а равно 1, и это, разумеется, целое число. Также всякое положительное целое число делится на 1, потому что, если а – положительное целое число, результат деления а / 1 равен а .

Положительное целое число называется простым , если у него есть ровно два делителя: 1 и оно само.

Например, 17 – простое число, потому что 1 и 17 – его единственные делители. По той же причине 2 – простое число.

С другой стороны, 18 не является простым числом, потому что помимо 1 и самого себя оно делится на 2, 3, 6 и 9. Такие числа, как 18, называют составными . Если говорить математическим языком, то положительное целое число называют составным, если у него есть другие делители помимо 1 и самого себя.

Размежевание чисел на простые и составные касается всех натуральных чисел, кроме 1. Мы выделяем 1 в отдельную категорию и называем единичным элементом, или единицей[15] Немного странно изобретать отдельное название для категории чисел, куда входит всего один элемент. На самом деле термин «единичный элемент», или «единица», имеет более широкое значение в сложных областях математики, но в применении к целым числам дает одно-единственное число: 1. . Кого-то расстраивает тот факт, что Плутон больше не причисляют к планетам, другие раздражены тем, что 1 не считается простым числом.

Если подытожить, у нас есть три категории положительных целых чисел:

• единица с одним положительным делителем;

• простое число с двумя положительными делителями;

• составное число с тремя и более положительными делителями.

Отмечу, что 1 – единственное в своем роде число, а вот составных чисел бесконечно много: 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. – составные числа (и таких еще много).

Но сколько же простых чисел существует?

Разложить число на множители означает представить его в виде произведения. Рассмотрим число 84. Мы можем разложить его на множители несколькими способами, например: