Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Четырехмерный гиперкуб, проекция на плоскость

Последующее включение силы притяжения в теории относительности потребовало широкого применения революционных римановских геометрий, хотя и модифицированных так, чтобы удовлетворять описанию Минковского для геометрии плоского пространства-времени. То, что происходит с пространством и временем в отсутствие массы, которая вызывает гравитационные искажения, Эйнштейн смоделировал как кривизну.

Математики предпочитали более гибкое понятие размерности и пространства, причем на рубеже XIX–XX вв. сама математика, судя по всему, всё больше требовала принятия многомерной геометрии. Теория функций двух комплексных переменных как естественное продолжение комплексного анализа нуждалась в представлении о пространстве с двумя комплексными измерениями. Но каждое такое измерение сводится к двум действительным измерениям, а значит, нравится вам это или нет, вы рассматриваете четырехмерное пространство. Римановское многообразие и алгебра многих переменных обеспечили дальнейшую мотивацию для исследований в этом направлении.

Однако еще одним мощным стимулом к принятию многомерной геометрии стало толкование механики в терминах обобщенных координат, сделанное Гамильтоном в 1835 г. Это исследование было инициировано Лагранжем в его «Аналитической механике» в 1788 г. Механическая система имеет столько же координат, сколько у нее степеней свободы – иными словами, возможностей изменять свое состояние. По сути, число степеней свободы – не что иное, как замаскированное измерение.

Например, необходимо шесть обобщенных координат, чтобы описать конфигурацию элементарного велосипеда: одна для угла, под которым руль крепится к раме, две для угловой позиции каждого из колес, еще одна для педальной оси и еще две для точек вращения педалей. Конечно, велосипед – трехмерный объект , но пространство для его возможных конфигураций получается шестимерным; и это одна из причин того, почему порой так трудно научиться ездить на велосипеде, пока вы не обретете сноровку. Вашему мозгу необходимо сконструировать внутреннее представление о взаимодействии этих шести переменных – научиться прокладывать курс в шестимерной геометрии велосипед-пространства. Когда велосипед на ходу, приходится следить, соответственно, за шестью скоростями: динамика, по существу, получится 12- мерной.

К 1920 г. это соперничество физиков, математиков и механиков благополучно разрешилось, и использование геометрического языка для задач со многими переменными – многомерной геометрии – уже не вызывало такого возмущения, разве что у некоторых философов. А к 1950 г. наука продвинулась вперед настолько, что для математиков стало совершенно естественным формулировать всё подряд в n измерениях с самого начала. Ограниченные теории о двух или трех измерениях оказались в списке устаревших и даже нелепых.

Язык многомерных пространств стремительно распространился во все области науки, захватив даже такие отрасли, как экономика и генетика. Сегодняшние вирусологи, например, воспринимают вирусы как точки в пространстве последовательности ДНК, у которых запросто может оказаться несколько сотен измерений. Под этим они подразумевают, что геном этих вирусов состоит из нескольких сотен оснований ДНК, и тогда геометрический образ вируса оказывается не просто отвлеченной метафорой: он становится эффективным способом решения проблемы.

Ничто из этого, однако, не означает, что существует мир духов, что наконец-то у привидений есть свой дом или что в один прекрасный день нас может (как описал в своей «Флатландии» Эдвин Эбботт) навестить Гиперсфера – существо из Четвертого измерения, принявшее для нас облик сферы с загадочно переменчивыми размерами, способное сжиматься до точки и исчезать из нашей Вселенной. Однако физики, ведущие исследования в теории суперструн, в последнее время склоняются к тому, что на самом деле наша Вселенная может иметь десять измерений, а не четыре. По их мнению, мы никогда не замечали еще шесть дополнительных измерений, поскольку те скручены так плотно, что их невозможно обнаружить.

Многомерная геометрия стала одной из самых впечатляющих областей, где, похоже, математики утрачивают всякую связь с реальностью. Коль скоро физическое пространство трехмерно, как может существовать пространство с четырьмя и более измерениями? И даже если их можно описать математически, какой от этого прок?