Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Такой подход к кодированию цифровых посланий первым предложил Ричард Хэмминг в 1947 г. Геометрическая интерпретация идеи появилась очень скоро, и это стало решающим толчком к развитию еще более эффективных кодов.

Наблюдая за непрерывнымростом науки, некоторые из математиков начали удивляться: где же надежный фундамент, поддерживающий вес этих знаний? Ряд серьезных научных кризисов – особенно дискуссия об основных понятиях исчисления и треволнения вокруг рядов Фурье – показали, что во избежание логических ловушек всякая математическая концепция должна иметь аккуратное и четкое определение. Иначе возведенная над нею башня выводов и заключений может легко рухнуть под ударом логических противоречий из-за неопределенности или двусмысленности.

Сперва такие тревоги касались лишь самых сложных и изощренных идей, таких как ряды Фурье. Но математический мир постепенно понял, что под подозрением может оказаться любая основная идея. И главной среди них была идея числа. Ужасная правда заключалась в том, что математики, положившие столько усилий на глубочайшие исследования свойств чисел, не потрудились ни разу задаться вопросом, что же такое число. И когда дело дошло до логичного определения, они не смогли его сформулировать.

В 1858 г., читая лекции по исчислению, Дедекинд задался вопросом о самой основе своей темы. Его интересовал не вопрос использования пределов, а сама система действительных чисел. Он опубликовал свои идеи в 1872 г. в труде «Непрерывность и иррациональные числа», указав, что вроде бы явные качества действительных чисел никогда не были доказаны сколько-нибудь строгим образом. В пример он привел уравнение √2√3 = √6. Явно оно вытекает из возведения в квадрат обеих сторон равенства. Вот только умножение для иррациональных чисел никогда не было определено. В 1888 г. в своей книге «Что такое числа и для чего они служат?» ученый отметил ряд серьезных пробелов в логическом обосновании системы действительных чисел. Собственно говоря, никто даже не доказал, что такие числа существуют.

Он также предложил свой способ заполнить пробелы, прибегнув к приему, известному нам как дедекиндовы сечения. Нужно было начать с признанной системы чисел, рациональных, и распространить ее, чтобы получить более широкую систему действительных чисел. Он сперва определил свойства, отличающие действительные числа, нашел способ описать их в ключе рациональных чисел и затем совершил обратную процедуру, интерпретируя эти особенности рациональных чисел как определения для действительных. Этот прием обратного конструирования новых концепций из старых с тех пор применяется часто.

Предположим на миг, что действительные числа существуют. Имеют ли они отношение к рациональным? Некоторые действительные числа – не рациональные, очевидный пример – √2. Теперь, хотя оно и не дробь, его можно приблизить сколь угодно близко к рациональному числу. Оно занимает особое место где-то в плотном ряду всех возможных рациональных чисел. Но как мы определим его положение?

Дедекинд понимал, что √2 четко разделяет последовательность рациональных чисел на две части: те, что меньше его, и те, что больше. Отчасти это разделение – или сечение – определяет √2 в рамках рациональных чисел. Единственная загвоздка в том, что мы прибегаем к √2 с целью определить две части разреза. Но есть способ это преодолеть. Рациональные числа больше √2 определенно положительные, и их квадрат больше 2. Рациональные числе меньше √2 – все остальные. Эти два множества рациональных чисел теперь определены без явного использования √2, но точно указывают его положение на прямой действительных чисел.

Дедекинд показал: если предположить, что действительные числа существуют, то сечение, удовлетворяющее этим двум частям, может быть связано с любым действительным числом в последовательности R из всех рациональных чисел, б о льших этого числа, и последовательности L из всех рациональных чисел, меньше этого числа или равных ему. (Последнее условие необходимо для связи сечения с любым рациональным числом. Мы ведь не хотим от них отказываться.) Здесь L и R могут восприниматься как левая и правая части на привычном изображении прямой действительных чисел.

Два множества, L и R , подчиняются нескольким довольно строгим условиям. Во-первых, каждое рациональное число принадлежит только одному из них. Во-вторых, каждое число во множестве R больше, чем любое число во множестве L . Наконец, существует техническое ограничение, связанное с рациональными числами как таковыми: L может иметь или не иметь самое большое число, а R никогда не имеет самого малого. Назовем любую пару подмножеств рациональных чисел с такими свойствами сечением .