Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

В обратном конструировании не нужно предполагать существование действительных чисел. Вместо этого мы можем использовать сечения для определения действительных чисел, так что фактически такое число является сечением. Обычно мы не рассматриваем действительные числа именно так, но Дедекинд понял, что при желании это возможно. Главная задача – определить, как складывать и умножать сечения, чтобы действовала арифметика действительных чисел. Оказалось, это просто. Чтобы сложить два сечения ( L 1, R 1) и ( L 2, R 2), положим, что L 1+ L 2будет множеством всех чисел, получаемым добавлением чисел из L 1к числам из L 2, и так же определим R 1+ R 2. Тогда суммой двух сечений будет сечение ( L 1+ L 2, R 1+ R 2). Умножение выполняется так же, хотя здесь есть небольшое различие между положительными и отрицательными числами.

Наконец, нам надо убедиться, что арифметика сечений обладает всеми свойствами, ожидаемыми от действительных чисел. К ним относятся стандартные законы алгебры, которые аналогичны свойствам рациональных чисел. Главное свойство, отличающее действительные числа от рациональных, заключается в том, что предел бесконечной последовательности сечений существует (при применении определенной техники). Также существует сечение, соответствующее любому бесконечному расширению десятичных дробей. Это тоже несложно.

Исходя из того, что всё перечисленное возможно, посмотрим, как Дедекинд смог доказать, что √2√3 = √6. Мы уже видели, что √2 соотносится с сечением ( L 1, R 1), где R 1состоит из всех положительных рациональных чисел с квадратами больше 2. А √3 соотносится с сечением ( L 2, R 2), где R 2состоит из всех положительных рациональных чисел с квадратами больше 3. Легко доказать, что произведением этих сечений будет ( L 3, R 3), где R 3состоит из всех положительных рациональных чисел, квадраты которых больше 6. Но это и есть сечение, которое соответствует √6. Готово!

Красота подхода Дедекинда в том, что он упрощает все вопросы, относящиеся к действительным числам, до соответствующих вопросов рациональных чисел, точнее, пары множеств рациональных чисел. Так мы получаем определение для действительных чисел только в рамках рациональных чисел и операций, относящихся к ним. К тому же действительные числа существуют (в математическом смысле), если существуют рациональные.

А вот небольшая плата за эту простоту: теперь действительное число определяется как пара множеств рациональных чисел – не совсем привычное для нас описание. Если это звучит слишком странно, вспомните, что обычное представление действительного числа – десятичная дробь, состоящая из бесконечной последовательности цифр от 0 до 9.

Концептуально это как минимум так же сложно, как сечение Дедекинда. И правда, непросто представить сумму или произведение двух бесконечных десятичных дробей, ведь обычные арифметические методы сложения или умножения десятичных дробей начинаются с их правого конца. А когда десятичная дробь бесконечна, она не имеет правого конца.

Книга Дедекинда была очень хороша для тренировки базовых навыков, но общие вопросы определения терминов в ней опущены. Она всего лишь сместила фокус с действительных чисел на рациональные. Но откуда нам знать, что рациональные числа существуют? Если мы предположим, что существуют целые числа, это просто: определим рациональное число p / q как пару целых чисел ( p, q ) и составим формулы для сумм и произведений. Если целые числа существуют, то существуют и их пары.

Но откуда нам знать, что существуют целые числа? Кроме знаков + и –, целые числа – обычные натуральные числа (включая 0) [7] В русской математике принято определение, что натуральные числа – те, которые мы применяем при счете: 1, 2, 3… В англоязычной немного иначе: натуральными числами являются те, которыми обозначается количество предметов: 0 предметов, 1 предмет… Поэтому далее в этой главе 0 вслед за автором мы будем причислять ко множеству натуральных чисел. Прим. науч. ред. . А учесть знаки не составит труда. Иными словами, целые числа существуют, если существуют натуральные.

Но мы так и не пришли к концу. Мы так хорошо знакомы с натуральными числами, что нам и не приходит в голову поинтересоваться, существуют ли на самом деле знакомые нам 0, 1, 2, 3 и т. д.? И если да, то что это такое ?