Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Со временем уравнений Максвелла набралось всего восемь, причем туда входило две группы по три уравнения: по одному для каждого компонента электрического или магнитного поля с учетом всех трех измерений пространства. Жизнь была бы намного легче, если бы удалось собрать каждую из этих троек в единое векторное уравнение. Максвеллу удалось достичь этого благодаря кватернионам, но его подход оказался грубоватым. Независимо друг от друга физик Джозайя Уиллард Гиббс и инженер Оливер Хевисайд нашли более простой путь для алгебраического представления векторов. Гиббс в 1881 г. тайно напечатал свою статью «Элементы векторного анализа» в помощь своим студентам. Он пояснил, что его идеи необходимы скорее для практического использования, чем для математической изысканности. Над его заметками поработал также Эдвин Уилсон, и в 1901 г. они опубликовали совместный труд «Векторный анализ». Хевисайд высказал те же самые общие идеи в первом томе своей «Электромагнитной теории» в 1893 г. (следующие два тома вышли в 1899 и 1912 гг. соответственно).

Изначально различные системы: кватернионы Гамильтона, гиперкомплексные числа Грассмана и векторы Гиббса – очень быстро сошлись к одному и тому же математическому описанию вектора. Это тройка чисел ( x, y, z ). Так спустя 250 лет и математики, и физики из разных частей света нашли свой путь обратно к Декарту – только теперь его идея координат оказалась лишь частью истории. Тройки представляли не просто точки, а направленные величины. Здесь заключалась огромная разница – и это не был формализм; это стало новой интерпретацией, физическим толкованием .

Математики гадали, какими свойствами порадуют их системы гиперкомплексных чисел. Для них вопрос звучал не «Есть ли от них польза?», а «Интересны ли они ученым?». Так математики сосредоточились на алгебраических свойствах систем n -х гиперкомплексных чисел для любого n . Фактически здесь уже шла речь о n -мерных пространствах плюс алгебраических действиях, но на первых порах все предпочитали мыслить алгебраически, оставляя геометрические аспекты проблемы под спудом.

Геометры ответили на вторжение на их территорию алгебраистов, подвергнув гиперкомплексные числа геометрической интерпретации. Ключевой фигурой в этом действе стал Риман. Он работал над своей хабилитацией в надежде получить право брать плату с обучавшихся у него студентов. Кандидату на степень хабилитированного доктора полагалось прочесть публичную лекцию на тему его собственного исследования. Следуя привычной процедуре, Гаусс попросил Римана представить ему список тем, из которых он мог бы что-то окончательно выбрать. Одна из тем называлась «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», и Гаусс, также интересовавшийся этими вопросами, выбрал именно ее.

Риман был в ужасе: мало того, что он вообще терпеть не мог выступать на публике, так и тема была им почти не проработана. Но сама идея оказалась блестящей: геометрия для n измерений, под которой он подразумевал систему с n координатами ( x 1, x 2, …, x n), в которую введено понятие расстояния между близлежащими точками. Он назвал такое пространство многообразием. Предложение было весьма радикальным, но оно привело к еще более радикальному выводу: многообразия могут искривляться. Гаусс занимался изучением кривизны поверхностей и вывел изящную формулу, естественно описывающую кривизну по существу – исключительно в терминах поверхности, а не пространства, где та помещается.

Риман намеревался вывести похожую формулу для кривизны многообразия, обобщив формулу Гаусса для n измерений. Она тоже должна была стать неотъемлемой для многообразия – для нее не надо будет использовать какое-либо пространство. Попытки Римана развить понятие кривизны в пространстве с n измерениями привели его на грань нервного срыва. Положение усугубилось еще и тем, что он активно помогал коллеге Гаусса Веберу, занимавшемуся исследованием электричества. Риман не сдавался, и наблюдения за взаимодействием электрических и магнитных сил привели его к новой концепции силы, основанной на геометрии. На него снизошло такое же озарение, благодаря какому десятилетия спустя Эйнштейн открыл общую теорию относительности: силу может заменить искривление пространства.

В традиционной механике тела движутся по прямой, пока не подвергнутся воздействию силы. В криволинейных геометриях существование прямых вовсе не обязательно, а пути изогнуты. Если пространство искривлено, то, вынужденно отклоняясь от прямой линии, тело испытает не что иное, как силу. Теперь благодаря этому озарению Риман почувствовал себя вполне готовым к публичной лекции. Он прочел ее в 1854 г. Это был великий триумф. Идеи Римана быстро распространились, и восхищение его открытием только возрастало. Вскоре ученые принялись читать популярные лекции о новой геометрии. Среди них был и Герман фон Гельмгольц, первым заговоривший о существах, обитающих на сфере или иной криволинейной поверхности.