Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Вернемся к нашей Фиби с ее винтовкой и посмотрим, как она могла бы использовать эту новую систему чисел. Ограничиваясь традиционными вещественными числами (как целыми, так и нецелыми), мы можем выразить все возможные результаты выстрела из винтовки в реальном мире. Но если мы расширим свой горизонт, включив в рассмотрение и гипервещественные числа, то у каждого выстрела появятся новые возможности. Например, пуля может попасть в гиперудаленную точку, находящуюся на расстоянии I + 3 км от середины стены, хотя вероятность такого попадания может быть выражена бесконечно малым числом порядка 1/ I . Однако следует отметить, что эта вероятность не будет нулевой: число 1/ I заведомо не равно нулю. Оно больше нуля, хотя и меньше любого положительного вещественного числа. Поэтому мы в некотором смысле можем считать такую вероятность «практически» нулевой. Допустив в свою среду гипервещественные числа, мы начинаем получать результаты столь необычайно редкие, что предвидеть их появление мы никак не можем. Тем не менее они могут появляться, и, если это происходит, такой результат совершенно не похож на результат обычного, повседневного выстрела. Тем из нас, кто вырос на традиционных вещественных числах, такой выстрел, возможность существования которого обеспечивает теорема Гёделя, покажется самым настоящим чудом.

Описывая Джона фон Неймана, историк науки Джейкоб Броновски сказал: «Он был самым умным из известных мне людей, безо всякого исключения. Он был гением» [38] См. http://commenting-the-commentaries.blogspot.com/2007/05/johnny-von-neumann-jacob-bronowki.html . . Еще когда фон Нейман учился в Будапеште, в легендарной лютеранской гимназии Фашори, товарищи по учебе знали, что он гений, — а сами они тоже были людьми незаурядными. Из этой школы вышли всемирно известные ученые, в том числе Юджин Вигнер, Джон Харсаньи и Эдвард Теллер. Фон Нейман умер рано, всего лишь в пятьдесят три года, оставив после себя новаторские работы по самым разным предметам, в том числе по архитектуре вычислительных систем, квантовой механике и теории игр. За годы, прошедшие после его смерти, пять человек получили Нобелевские премии по экономике за результаты, достигнутые в области теории игр, а еще десять или двенадцать Нобелевских премий были присуждены экономистам, применившим математические методы, которые разработал фон Нейман.

Фон Нейман не был гением рассеянным, витающим в облаках, каким мы часто воображаем гения. В нем не было ничего не от мира сего. Мыслями он мог парить в высях, но ногами прочно стоял на земле. В конце 1930-х годов, когда вновь созданный Институт перспективных исследований (Institute for Advanced Study) в Принстоне, Нью-Джерси, предложил ему место, он затребовал годовую зарплату $16 000, что по тем временам было изрядной суммой. Кроме того, он выдвинул еще одно условие: он не хотел оказаться в таком месте, где бы не было никого умнее его. Он считал, что если вы — самый умный из присутствующих, значит, вы находитесь не там, где нужно. По счастью, в тот же институт уже поступили на работу Альберт Эйнштейн и Герман Вейль, а двумя годами позже к ним присоединился и Курт Гёдель. Все трое бежали из гитлеровской Европы.

Фон Нейман спросил Эйнштейна, какое жалованье тот думал просить, Эйнштейн скромно сказал, что, по его мнению, он может стоить несколько тысяч долларов в год. Тогда фон Нейман велел Эйнштейну исчезнуть на несколько дней и за это время выбил для него годовую зарплату $18 000.

Эйнштейн с Гёделем часто проводили дни напролет в лесах, окружающих Принстон. Иногда к ним присоединялся фон Нейман или кто-нибудь другой из ученых, но чаще всего они были вдвоем. На одной из таких прогулок никто из них не произнес за день ни слова, а когда они вернулись домой, каждый сказал жене, что у них состоялась в высшей степени увлекательная беседа. Оказывается, молчать тоже не все равно с кем.

Был ли фон Нейман гением? Большинство математиков, вероятно, сказало бы, что был. Его необычайный талант можно проиллюстрировать конкретным примером. В 1940-х годах в математическом фольклоре появилась одна весьма непростая задача: какой толщины должна быть монета, чтобы, будучи подброшена, она с равной вероятностью падала орлом, решкой и ребром? Ясно, что обычные монеты очень редко остаются стоять на ребре после броска, но по мере увеличения толщины монеты вероятность такого события должна возрастать. Представим себе монету в форме высокой консервной банки — такая монета оказывалась бы на ребре гораздо чаще, чем орлом или решкой кверху. Поэтому где-то между толщиной обычной монеты и толщиной консервной банки должна существовать золотая середина — толщина, при которой монета остается на ребре или оборачивается при падении орлом или решкой с точно равной вероятностью. Где же она?