Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Страстные поклонники Гарри Поттера должны помнить, что платформа № 9 3/4, от которой отходят поезда в Хогвартс, — это тоже воображаемая платформа, но начинающийся от нее путь тем не менее куда-то ведет.

Робинсон обобщил концепцию супернатуральных чисел на все множество чисел вещественных и назвал их «гипервещественными числами». Супернатуральное число I не может быть ни одним из традиционных натуральных чисел, так как это привело бы к существованию доказательства G в классической математике. Поэтому I не может быть равно 0, 1, 2, 3 или какому-нибудь другому натуральному числу. Однако можно допустить, что I больше любого натурального числа, но тем не менее остается именно числом, не превращаясь в какую-либо бесконечно большую величину. Оно может быть удвоено или возведено в квадрат, и результатом этих операций также будут гипервещественные числа. Два гипервещественных числа можно сложить друг с другом или вычесть друг из друга; гипервещественные числа вообще можно сочетать друг с другом, а также с натуральными числами всеми обычными способами. Например, 2 I и I + 3 представляют собой числа, допустимые в этой новой математической системе.

Вспомним, что гипервещественные числа возникли при добавлении к традиционной математике аксиомы, опровергающей утверждение G , а поскольку эта аксиома независима от традиционной математики, можно беспрепятственно выполнять все обычные вычисления с числами как вещественными, так и гипервещественными, не опасаясь прийти к противоречию (как обычно, в предположении об исходной непротиворечивости традиционной математики).

А как насчет числа 1/ I ? Поскольку I больше всех натуральных чисел, из этого следует, что 1/ I должно быть меньше всех положительных натуральных чисел, оставаясь при этом числом положительным. Значит, наша система содержит «бесконечно малые» положительные числа. Именно о таких числах математики говорили с тех самых пор, когда Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление. Для них такие числа были скорее абстракцией, нежели конкретным объектом. Но теперь они — «настоящие» бесконечно малые числа — оказались прямо перед нами, в полном нашем распоряжении! Робинсон использовал эти бесконечно малые для создания нового варианта дифференциального и интегрального исчисления, который называется нестандартным анализом [37] Robinson (1996). . В нем интегрирование и дифференцирование превращаются из эзотерических концепций, мучающих студентов-первокурсников, проходящих математический анализ, в совершенно тривиальные операции, а сложные расчеты с использованием пределов становятся простыми вычислениями с бесконечно малыми числами.

Однако не все так просто: в этой системе становятся необычайно сложными операции сложения и умножения. Доказано, что при переходе к нестандартной математике с гипервещественными числами либо сложение, либо умножение становится таким же сложным, как операции математического анализа — интегрирование и дифференцирование — в нашей традиционной математике. При этом, работая в новой нестандартной математике, нельзя схитрить и использовать для сложения и умножения традиционную математику, потому что никогда не знаешь, окажутся ли числа, которыми мы оперируем, вещественными или гипервещественными.

В некоторых научно-фантастических произведениях утверждается, что человечество сможет использовать математику, чтобы убедить какую-нибудь внеземную цивилизацию в своей разумности. Но что, если математика, которую разработала эта конкретная цивилизация, — это математика, нестандартная с нашей точки зрения? Возможно, те инопланетяне, с которыми мы будем пытаться установить контакт, даже целые числа воспринимают совершенно по-другому. Может быть, у них даже малые дети с легкостью решают задачи дифференциального исчисления, и наша математика только убедит их в том, что мы безнадежно недоразвиты и имеем лишь самое смутное представление о числах. Увидев, с каким трудом мы решаем даже самые простые уравнения движения, они могут быть шокированы и разочарованы. В то же время мы, возможно, будем гордиться своим превосходством, когда узнаем, что инопланетяне еле-еле могут сложить два обычных десятизначных числа.

Если бы такой внеземной цивилизации с ее внеземной математикой удалось создать некую технологию, недостижимую для нас, — например, машину времени, — то мы почти наверняка сочли бы ее чудом. Если возможности математики, обеспечившие возможность такого изобретения, были бы для нас непостижимы, они казались бы нам волшебством. С другой стороны, возможно, что наши инопланетяне, которым мешала бы сложность сложения и умножения, так и не открыли бы законов электричества. Вполне может быть, что обычный электромотор казался бы им настоящим чудом.