Владимир Арнольд - Теория катастроф

59. Докажите,, что особенности поверхностей уровня общего положения функций максимума типичных n- параметрических семейств функций такие же, как особенности графиков функций максимума n — 1-параметрических семейств общего положения (причем множества меньших значений соответствуют надграфикам). В этой ситуации "хорошие" значения параметров те, в которых функция максимума меньше фиксированной константы (а "хорошие" значения константы — те, которые больше максимума),

60. Рассмотрим уравнение х + kх ± х = 0.

Определить, какие значения к отвечают сложенным фокусам, какие — сложенным узлам и какие — сложенным седлам на плоскости (х, Е = х 2+ х 2),

61. Найти поверхность, асимптотические линии которой образуют локально систему интегральных кривых сложенного фокуса (узла, седла).

62. Докажите, что интегральные кривые сложенного седла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки сепаратрисам, подходят к особой точке с противоположных сторон, а интегральные кривые сложенного узла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки выделенным фазовым кривым узла, подходят к особой точке с одной стороны,

63. Рассмотрим k-параметрическое семейство гладких гиперповерхностей в n-мерном линейном пространстве, снабженном проекцией на n — 1-мерное подпространство. Насколько негладким может оказаться видимый контур, если проектируемая поверхность выпукла, а семейство — общего положения?

64. Найти число модулей особенностей выпуклых оболочек типичных гладких поверхностей в четырехмерном пространстве и типичных гладких подмногообразий размерности 3 в пятимерном пространстве.

65. Плоская кривая, двойственная к кривой у = х 2+ х 5/2, диффеоморфна исходной кривой, а двойственная к диффеоморфной ей кривой у = х 5/2— нет.

66. Кривая, двойственная к типичной кривой с особенностью степени 5/2, имеет подобную же особенность.

67. Число (комплексных) особых точек типа 7 (см. рис. 64) на типичной алгебраической поверхности достаточно большой степени d равно 2d (d — 2) (11d — 24), а типа 5 — 5d (d — 4) (7d — 12).

68. Когда поверхность уровня типичной функции трех переменных приближается к поверхности критического уровня, в критической точке исчезают 24 (комплексные) точки типа 7 (рис, 64).

69. Эвольвента плоской кривой, проходящая через обыкновенную точку перегиба кривой, имеет в ней особенность типа 5/3.

70. Нарисуйте эвольвенты кубической параболы у = х 3.

71. Нарисуйте график (трехзначной) функции времени вблизи точки кубического перегиба ограничивающей препятствие кривой на плоскости.

72. Нарисуйте поверхность, образованную в трехмерном пространстве линейных элементов на плоскости элементами, касательными к эвольвентам плоской кривой, вблизи точки (кубического) перегиба этой кривой. Какие особенности имеет эта поверхность и какие — ее проектирование на плоскость (сопоставляющее каждому линейному элементу точку его приложения)?

73. Рассмотрим на поверхности препятствия функцию, равную сумме расстояния до цели (по прямой) и расстояния до некоторой начальной точки вдоль поверхности препятствия. Докажите, что кратности критических точек этой функции четны.

74. Уравнения С = ∫ x 0(t 3+ At + B) 2dt, x 3+ Ax + В = 0, определяют в пространстве с координатами (А, В, С) поверхность. Нарисуйте эту поверхность и исследуйте ее особенности (она локально диффеоморфна фронту пространственной задачи об обходе препятствия в точке, соответствующей сборке гауссова отображения пучка, и ее ребро возврата степени 5/2 имеет полукубическую точку возврата в начале координат).

75. Сколько симплектически неэквивалентных плоскостей размерности k имеет симплектическое пространство большей размерности? Докажите, что их число равно целой части k/2.

76. Полным флагом в линейном пространстве называется набор из последовательно вложенных друг в друга подпространств всех размерностей. Сколько симплектически неэквивалентных полных флагов имеет симплектическое пространство размерности 2n? Докажите, что их число равно (2n — 1)!! = 1 · 3 · 5 · ... ·(2n — 1).

77. В пространстве однородных многочленов нечетной степени от двух переменных имеется симплектическая структура, инвариантная относительно естественного действия группы сохраняющих площади линейных преобразований плоскости; эта структура единственна (с точностью до ненулевого множителя). Найдите ее явное выражение через коэффициенты многочленов.