Владимир Арнольд - Теория катастроф

С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и численные параметры могут быть недостаточно известными.

Наполеон критиковал Лапласа за "попытку ввести в управление дух бесконечно малых". Математическая теория перестроек — это та часть современного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление сложными и плохо известными нелинейными системами практически невозможно.

Не требуется, однако, специальной математической теории, чтобы понять, что пренебрежение законами природы и общества (будь то закон тяготения, закон стоимости или необходимость обратной связи), падение компетентности специалистов и отсутствие личной ответственности за принимаемые решения приводит рано или поздно к катастрофе.

(здесь и далее переменная z — комплексная, х и у вещественные)

1. Найдите критические точки и критические значения отображений z → z 2, z → z 2+ εz.

2. Найдите критические точки и критические значения отображений (х, у) → (х 2+ ау, у 2+ bх)

3. Исследуйте бифуркации особых точек дифференциального уравнения х = -х 3+ х + а при изменении параметра а.

4. Исследуйте бифуркации особых точек в системе дифференциальных уравнений z = εz — z 2z + Az 3, где A — фиксированное комплексное число, а комплексное число ε обходит вокруг нуля,

5. Сколько имеется топологически различных вещественных многочленов пятой степени х 5+ ... с четырьмя различными вещественными критическими значениями? Два многочлена топологически одинаковы, если один можно превратить в другой непрерывными и сохраняющими ориентации заменами зависимой и независимой вещественных переменных.

6. Обозначим через а nчисло типов многочленов х n+1+... с n различными критическими значениями (так что ответ в предыдущей задаче будет обозначаться а 4) и составим функцию р (t) = Σa nt n/n!. Докажите, что р (t) = sec t + tg t (так что a nвыражаются через числа Бернулли при нечетных n и через числа Эйлера — при четных).

7. Рассмотрим в пространстве многочленов х 5+ ... область, образованную многочленами с четырьмя различными вещественными критическими значениями. Сколько компонент связности имеет эта область?

8. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции двух переменных в критической точке положительно определен. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и независимых переменных (х, у) функция приводится к виду u = х 2+ у 2.

9. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции n переменных в критической точке — невырожденная квадратичная форма. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и n независимых переменных (х, у) функция приводится к виду и = х 2 1+ . . . + х 2 k— у 2 1— . . . — y 2 1, k + l = n.

10. Докажите, что в критической точке аналитической функции двух переменных исчезают, как правило, 6 (комплексных) точек перегиба линии уровня,

11. Сколько точек сборки имеет отображение z → z 2+ εz?

12. Имеют ли точки сборки отображение (х, у) → (х 2+ ау, у 2+ bх)?

13. Докажите, что число точек сборки отображения (общего положения) сферы на плоскость четно.

14. Пусть на сфере дана функция, интеграл которой по сфере равен нулю и для которой нуль — не критическое значение. Существует ли гладкое отображение сферы на плоскость, все особенности которого — складки и которое имеет якобианом данную функцию?

15. Докажите, что отображение сферы на плоскость, все критические точки которого — складки и сборки, может иметь линией критических точек любую (непустую) гладкую кривую на сфере.

16. Предположим, что все критические точки гладкого отображения сферы на плоскость — складки и сборки и что число областей на сфере, где якобиан отображения положителен, равно а, а где он отрицателен — b. Докажите, что число сборок не меньше, чем 2 | а — b |.

17. Сопоставим каждому вектору нормали к эллипсу его конец. Докажите, что построенное отображение цилиндра на плоскость имеет четыре точки сборки.

18. Если заменить в задаче 17 эллипс несамопересекающейся кривой общего положения, то число точек сборки соответствующего отображения цилиндра на плоскость не меньше четырех.