Владимир Арнольд - Теория катастроф

Геологические применения анализа особенностей указаны Скрейнемакерсом (1917).

В теории "теплового взрыва" Семенова (1929) и в работах его последователей по теории горения явно изучались перестройки стационарных режимов при изменении параметров, что приводило к необходимости исследования и складок, и сборок, и более сложных ситуаций. В частности, в работе Я. Б. Зельдовича 1940 г. проанализированы явления, происходящие при морсовской перестройке кривой равновесий на плоскости фазовой переменной и параметра (рождении новых островков или их слиянии с основной кривой). В современной математической теории аналогичный анализ выполнен лишь в последние годы.

Анализ волнового поля вблизи каустики и ее особенностей привел Эйри и Пирси к осциллирующим интегралам, фаза которых доставляет нормальную форму складки и сборки соответственно. В связи с этим стоит отметить, что найденные М. А. Леонтовичем и В. А. Фоком асимптотики поля вблизи границы до сих пор не переварены теорией катастроф.

В теории упругости Койтер в 1945 г. обнаружил полукубическую особенность в зависимости предельной нагрузки от нецентральности ее приложения в задаче о прощелкивании арки. Специалисты по теории упругости использовали геометрию сборки для выбора программ испытаний упругих конструкций, при которых не происходит прощелкивания несмотря на высокие нагрузки.

Вычисления в этих исследованиях обычно проводились без общей теории, за счет правильного отбрасывания одних членов ряда Тейлора и оставления других "наиболее важных". Из физиков, особенно систематически применявших теорию катастроф до ее возникновения, стоит особо выделить Л. Д. Ландау. В его руках искусство отбрасывать "несущественные" члены ряда Тейлора, сохраняя меньшие по величине "физически важные" члены, дало много включаемых в теорию катастроф результатов.

Так, в работе 1943 г. о возникновении турбулентности Ландау прямо выписывает этим методом уравнение "бифуркации Хопфа" для квадрата амплитуды теряющего устойчивость колебания. Теория фазовых переходов второго рода по Ландау сводится к анализу бифуркаций критических точек симметрических функций. Кривые Ландау в теории фейнмановских интегралов, зависящих от параметров, с их устойчивыми точками возврата, включаются в число основных бифуркационных диаграмм современной теории катастроф.

Конечно, современная общая теория позволяет с меньшей затратой сил исследовать более сложные особенности. Однако наибольшую практическую ценность имеют в большинстве случаев именно исследования наиболее простых и часто встречающихся особенностей: затрата сил на преодоление технических трудностей, стоящих на пути исследования более сложных случаев, не всегда оправдывается практической ценностью получаемых результатов. Напротив, фундаментальные работы предшественников теории катастроф (как упомянутых выше, так и многих других) сохраняют все свое значение и теперь, когда их математическая структура вполне выяснена теориями особенностей и бифуркаций.

Газеты приносят вести о все новых катастрофах. Землетрясения, наводнения, взрывы, войны, эпидемии окружают нас со всех сторон,5 и вдобавок над всем земным шаром нависает угроза страшнейшей из катастроф — ядерной. Пора запретить атомную гражданскую войну.

Математическая теория катастроф сама по себе не предотвращает катастрофы, подобно тому, как таблица умножения,, при всей ее полезности для бухгалтерского учета не спасает ни от хищений отдельных лиц, ни от неразумной организации экономики в целом.

Математические модели катастроф указывают, однако, некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий. Например, устойчивый установившийся режим (скажем, режим работы реактора, или экологический или экономический режим) обычно погибает либо столкнувшись с неустойчивым (причем в момент столкновения скорость конвергенции бесконечно велика), либо вследствие нарастания (опять бесконечно быстрого) самоподдерживающихся колебаний. Это объясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, когда ее признаки сделались уже заметными: скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катастрофе.

К катастрофической потере устойчивости может приводить оптимизация и интенсификация. Например,: для простейшей модели рыболовства