Владимир Арнольд - Теория катастроф

Чтобы понять, что происходит при монодромии с точками многообразия неособого уровня, рассмотрим пример

f (х, у) = х 2+ у 2.

Изучим прежде всего многообразие неособого уровня х 2+ у 2= с, с ≠ 0. В вещественном случае это уравнение определяет окружность, нас же интересует "комплексная окружность" — множество точек (х, у) плоскости двух комплексных переменных, сумма квадратов (комплексных) Координат которых имеет фиксированное значение.

Мы уже знаем, что эта поверхность топологически устроена как цилиндр в четырехмерном пространстве.

Оказывается, монодромия поворачивает каждую из составляющих цилиндр окружностей на свой угол, меняющийся непрерывно от нуля на одном основании до 2π на другом. Таким образом, оба края цилиндра поточечно остаются на месте, в то время как поверхность перекручивается на целый оборот, так что, например, образующая цилиндра превращается в спираль, делающую на пути от одного основания к другому полный оборот вокруг цилиндра (рис. 76).

Рис. 76. Скручивание Дена — монодромия функции х 2+ у 2

Чтобы понять, почему это так, исследуем подробнее "комплексную окружность". Уравнение ее можно записать в виде у = √с — х 2. Из этой формулы видно, что каждому (комплексному) значению х соответствует пара значений у, за исключением х = ± √с, — каждому из этих двух особенных значений х соответствует единственное (нулевое) значение у.

Следовательно, график комплексной "двузначной функции" у = √с — х 2распростерт над плоскостью комплексной переменной х двулистно, причем оба листа соединены только в двух точках. Однако разделить оба листа, удалив лишь эти две точки, не удастся. В самом деле, заставим х обойти одну из этих точек по малому контуру, охватывающему ее один раз. Соответствующее значение у, непрерывно меняясь, вернется не к прежнему значению, а к другому. Действительно, из формулы

с — х 2= (√с — х) (√с + х)

видно, что при обходе х вокруг одной из точек ± √с, аргумент одного из сомножителей меняется на 2π, а другого не меняется. Значит, аргумент у меняется при указанном обходе на π, т. е. у меняет знак и переходит с одного листа на другой.

При двукратном обходе х вокруг точки √с величина у возвращается к исходному значению. Точки х = ± √с называются точками ветвления функции у = √с — х 2.

Чтобы лучше представить себе поверхность, заданную этой функцией, соединим обе точки ветвления отрезком. Если точка х гуляет по плоскости, не пересекая этого отрезка, то у возвращается к первоначальному значению всякий раз, когда х описывает замкнутый путь. Действительно, однократный обход любой из точек ветвления меняет лишь знак у, поэтому обход всего отрезка не меняет знака у.

Ясно, что наша поверхность х 2+ у 2= с топологически устроена как объединение двух экземпляров плоскости комплексного переменного х, разрезанной вдоль отрезка между точками ветвления, при склеивании верхнего берега разреза на каждом экземпляре с нижним берегом на другом. Топологически эта поверхность есть цилиндр. Разрез изображается на этом цилиндре экваториальной окружностью (рис. 77).

Рис. 77. Риманова поверхность кривой х 2+ у 2= с

При приближении с к критическому значению 0 обе точки ветвления сближаются. Соединяющий их отрезок и обходящий его путь на римановой поверхности в пределе при с → 0 исчезают в критической точке. Поэтому экваториальный цикл на цилиндре х 2+ у 2— с называют исчезающим циклом.

Для с > 0 этот исчезающий цикл — обычная вещественная окружность. Итак, мы разобрались в строении множества неособого уровня вблизи критической точки при фиксированном значении функции, близком к критическому. Вид функции при этом не важен, лишь бы критическая точка была невырожденной. Ибо все невырожденные критические точки комплексных функций топологически локально одинаковы в соответствии с объясненным выше общим принципом (комплексное вырождение накладывает два вещественных условия). В частности, топология исчезающего цикла для гиперболического случая (х 2— у 2= с) такая же, как для эллиптического, х 2+ у 2= с, только в гиперболическом случае исчезающий цикл весь лежит в комплексной области.

Пусть теперь значение с обходит по малому контуру вокруг критического значения. Применим наш анализ комплексной линии уровня функции к исследованию монодромии. Если выкинуть малую окрестность особой точки, то все линии уровня (вещественные или комплексные), достаточно близкого к критическому, можно взаимно-непрерывно и взаимно-однозначно спроектировать на линию критического уровня (вне указанной окрестности особой точки, рис. 78).