Владимир Арнольд - Теория катастроф

Здесь открывается новая глава теории особенностей — исследование особенностей расположения подмногообразий в симплектическом пространстве, на важность которого обратил внимание Р. Мельроз в недавних работах по дифракции. Начало классификации таких особенностей получается, по теореме Гивенталя, из результатов Ж. Мартине и его последователей о вырождениях симплектической структуры. Например, двухмерное подмногообразие общего положения в четырехмерном симплектическом пространстве локально приводится сохраняющим симплектическую структуру преобразованием к одной из двух нормальных форм:

р 2= q 2= 0 или q 1= 0, р 2= р 2 1.

На нечетномерных многообразиях не бывает симплектических структур, но зато бывают контактные. Контактная геометрия играет для оитики и теории распространения волн такую же роль, как симплектическая для механики.

Контактная структура на нечетномерном многообразии определяется выбором в касательном пространстве в каждой точке гиперплоскости (подпространства коразмерности один). Два поля гиперплоскостей на многообразии фиксированной размерности локально эквивалентны (переводятся друг в друга диффеоморфизмом), если только оба они общего положения вблизи изучаемых точек.

Контактной структурой называется поле гиперплоскостей являющееся полем общего положения вблизи каждой точки нечетномерного многообразия.

Контактным является многообразие всех линейных элементов на плоскости. Оно трехмерно. Контактная структура задается так: скорость движения элемента принадлежит (гипер) плоскости поля, если скорость движения точки приложения принадлежит элементу. Точно так же определяется контактная структура в 2n — 1-мерном многообразии элементов гиперплоскостей на любом n-мерном многообразии.

Роль лагранжевых многообразий в контактном случае переходит к лежандровым (интегральным подмногообразиям поля гиперплоскостей наибольшей возможной размерности, т. е. размерности m в контактном многообразии размерности 2m + 1).

Особенности волновых фронтов, преобразований Лeжандра, а также гиперповерхностей, двойственных к гладким, — это лежандровы особенности. Вся симплектическая теория (включая, например, теорему Гивенталя) имеет контактные аналогу чрезвычайно полезные для исследования особенностей в вариационных задачах.

Распространение волн в сплошных средах описывается световой гиперповерхностью в контактном пространстве (называемой также "дисперсионным соотношением" или "многообразием нулей главного символа" в пространстве контактных элементов пространства-времени).

Для волн, описываемых вариационными принципами с гиперболическими уравнениями Эйлера — Лагранжа, указанная гиперповерхность, вообще говоря, имеет особенности.

Многообразие особенностей световой гиперповерхности типичной вариационной системы имеет коразмерность 3 в контактном пространстве. На трансверсальном к многообразию особенностей трехмерном пространстве световая гиперповерхность оставляет след, диффеоморфный квадратичному конусу u 2+ υ 2= ω 2.

Особенности световых лучей и волновых фронтов определяются расположением световой гиперповерхности по отношению к контактной структуре (лучи — это проекции ее характеристик, а фронты — ее лежандровых многообразий). Анализ типичных расположений обнаруживает своеобразное явление внутреннего рассеяния волн на неоднородностях среды.

Обычно волны разных типов (скажем, продольные и поперечные) распространяются внутри среды независимо и лишь на границе могут порождать друг друга. Здесь же трансформация волн осуществляется во внутренних точках среды. Например, при распространении волн в одномерной нестационарной, неоднородной среде рассеяние в отдельные моменты времени испытывают отдельные лучи. Соответствующие характеристики в пространстве-времени касаются в одной точке (рис. 74).

Рис. 74. Трансформация волн в одномерной среде

Кривые 1 3 и 2 4 на этом рисунке — гладкие, с касанием первого порядка. Касающиеся характеристики — это 1 4 и 2 3. На типичном волновом фронте, движущемся в трехмерном пространстве, трансформация волн происходит в отдельных изолированных точках.

За последние годы симплектическая и контактная геометрии появляются во всех отделах математики; как у каждого жаворонка должен появиться хохолок, так всякая область математики в конце концов симплектизируется. В математике есть ряд операций разных уровней: функции действуют на числа, операторы — на функции, функторы — на операторы и т. д. Симплект.изация относится к небольшому числу операций самого высшего уровня, действующих не на какие-нибудь мелочи (функции, категории, функторы), а на всю математику сразу. Хотя известно уже несколько таких операций высшего уровни (например, алгебраизация, бурбакизация, комплексификация, суперизация, симплектизация), для них нет никакой аксиоматической теории.