Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Четырехмерные существа, попавшие в наш мир, обладали бы, с нашей точки зрения, поистине магическими способностями. Они запросто могли бы, например, взяв левый ботинок, перевернуть его в четвертом измерении и превратить в правый. Если это кажется непонятным, представьте себе двумерный ботинок – нечто вроде бесконечно тонкой подошвы, имеющей форму правой или левой ступни. Вырезаем его из бумаги, поднимаем, переворачиваем и кладем на место. И пожалуйста – был правый ботинок, стал левый! Двумерное существо такой трюк поверг бы в полное изумление, а нам, вооруженным третьим измерением, это проще простого.

В принципе, четырехмерному существу ничего не стоило бы перевернуть в четвертом измерении и целого (трехмерного) человека. Впрочем, отсутствие прецедентов, когда в человеке все правое и левое вдруг поменялось бы местами, дает основания полагать, что в реальности такого не происходило. В рассказе “История Платтнера” Герберт Уэллс описывает удивительный случай, происшедший со школьным учителем Готфридом Платтнером, который после взрыва в кабинете химии исчезает на девять дней. Вернувшись, он представляет собой зеркальное отражение предыдущего себя, но его рассказ о том, что произошло во время его отсутствия, встречают с недоверием. Если человека действительно “перевернуть” таким образом в четвертом измерении, это мало того что вызовет у него шок при виде собственного отражения в зеркале (лица людей на удивление асимметричны), но и не лучшим образом отразится на здоровье. Многие важнейшие вещества в нашем организме, в том числе глюкоза и большинство аминокислот, имеют определенную ориентацию: например, молекулы ДНК, имеющие форму двойной спирали, всегда закручены как винт с правой резьбой. Если у всех них поменять ориентацию, мы умрем от истощения – ведь в таком преображенном виде многие из необходимых питательных веществ растительного и животного происхождения наш организм просто не сможет усвоить.

Математики начали проявлять интерес к четвертому пространственному измерению в первой половине XIX века, после работ немецкого ученого Августа Фердинанда Мёбиуса. В первую очередь его помнят как изобретателя объекта, позже названного в его честь, – ленты Мёбиуса – и как пионера топологии. Он же первым пришел к выводу, что в четвертом измерении трехмерный объект можно повернуть так, чтобы получить его зеркальное изображение. Во второй половине XIX века среди математиков, изучавших новую область – многомерную геометрию, – выделялись трое ученых: швейцарец Людвиг Шлефли, англичанин Артур Кэли и немец Бернхард Риман.

Свой главный труд Theorie der Vielfachen Kontinuität (“Теория многократной континуальности”) Шлефли начал со слов: “Настоящий трактат… это попытка обосновать и выработать новую ветвь анализа, которая, как бы являясь аналитической геометрией n измерений, содержит таковую для плоскости и пространства в качестве частных случаев для n = 2, 3” [6] Цитируется по изданию: Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1981. . Далее он описал многомерные аналоги многоугольников и многогранников, назвав их “полисхемами”. Сейчас для них используют термин “политопы” [7] В русском языке для многомерных политопов устоялось название из стереометрии – “многогранник” (или еще “полиэдр”), так как математики называют многомерные ячейки гранями. – Прим. науч. ред . , придуманный немецким математиком Рейнгольдом Хоппе и введенный в английский язык Алисией Буль Стотт, дочерью английского математика и логика, автора булевой алгебры Джорджа Буля и Мэри Эверест Буль, математика-самоучки и автора книг о математике.

Также Шлефли принадлежит заслуга открытия многомерных аналогов платоновых тел. Под платоновым телом понимают выпуклый многогранник (то есть все углы у него направлены наружу), каждая из граней которого – правильный многоугольник, а в каждом из углов сходится одинаковое количество граней. Всего таких тел пять: куб, тетраэдр, октаэдр, (12-гранный) додекаэдр и (20-гранный) икосаэдр. Четырехмерные эквиваленты платоновых тел – это выпуклые правильные четырехмерные политопы. Всего Шлефли открыл шесть таких четырехмерных политопов и дал им названия по количеству составляющих их ячеек. Простейший, пятиячейник, состоит из 5 тетраэдрических ячеек, 10 треугольных граней, 10 ребер и 5 вершин и является аналогом тетраэдра. Кроме него есть восьмиячейник, или тессеракт, и “двойственный” ему шестнадцатиячейник, который получается, если заменить ячейки тессеракта вершинами, грани ребрами, а ребра гранями. Шестнадцатиячейник имеет 16 тетраэдрических ячеек, 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин и представляет собой четырехмерный аналог октаэдра. Еще два четырехмерных политопа – стодвадцатиячейник, аналог додекаэдра, и шестисотячейник, аналог икосаэдра. И наконец, есть двадцатичетырехячейник с 24 октаэдрическими ячейками, у которого нет аналога в трехмерном пространстве. Любопытно, что, как установил Шлефли, количество выпуклых правильных политопов во всех более высоких измерениях одинаково – в каждом по три.