Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Различие состоит в следующем: при поиске ответа в отношении суммы существует конечное число возможностей: нужно лишь проверить все простые числа, меньшие самого искомого числа. В случае 2010 необходимо исследовать только лишь все простые числа до 2007 (самого большого простого числа до 2010). Даже если бы мы взяли не 2010, а 2010! это число все равно было бы конечным, и программа в конце концов пришла бы к тому или иному выводу, проработав в течение конечного времени (более долгого, чем кажется, но тем не менее конечного).

Когда же мы ищем ответ в отношении разности, количество чисел, больших заданного числа, бесконечно. Следовательно, количество разностей, которые, возможно, придется проверить, не ограничено, и может случиться так, что этот процесс не завершится никогда.

Пьер де Ферма (1607–1665) открыл одно интересное обстоятельство, связанное с простыми числами; оно называется «рождественской теоремой Ферма» [25] Это название связано с тем, что Ферма впервые сформулировал эту теорему в письме к Мерсенну от 25 декабря 1640 г. Однако доказательства теоремы он не привел; ее первое доказательство было получено Эйлером и изложено им в письмах к Гольдбаху в 1747 и 1749 гг. . Он показал, что любое простое число вида 4 n + 1 (например, 5, 13, 17, 29…) есть сумма двух квадратов, а любое простое число вида 4 n – 1 (например, 3, 7, 11, 19…) не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Каждое простое число, кроме 2, – либо число вида 4 n + 1, либо число вида 4 n – 1 (докажите это утверждение самостоятельно). Например, 41 – простое число вида 4 n + 1 (4 × 10 + 1), и его можно представить в виде суммы двух квадратов (5² + 4²). А вот 19 – простое число второго вида (4 × 5 – 1), и его невозможно представить в виде суммы двух квадратов. Хотя показать, что, например, число 19 не является суммой двух квадратов, легко, доказать рождественскую теорему Ферма в общем случае не так-то просто.

В книге «Апология математика» Г. Г. Харди приходит к заключению, что упомянутое открытие Ферма – пример «изящной математики» и красивейшая из математических теорем наравне с евклидовым доказательством бесконечности простых чисел.

Что же, раз мы заговорили о «заключениях», нам пора заключить этот раздел о тайной жизни простых чисел и отправиться в (безграничный) мир бесконечности.

Математика, если взглянуть на нее с правильной точки зрения, обладает не только истиной, но и совершенной красотой – красотой холодной и суровой, как красота скульптуры, не потакающей нашим слабостям, лишенной роскошных приманок живописи или музыки, и все же безукоризненно чистой и способной на строгое совершенство, доступное лишь величайшему искусству [26] Из эссе «Изучение математики» (The Study of Mathematics, 1919). .

Математическая теория бесконечности, как и почти все остальное в западной цивилизации, уходит корнями в Древнюю Грецию. Интересно отметить, что греческое слово ἄπειρον ( апейрон ), обозначающее бесконечность, имеет два значения. Одно из них – нечто неограниченное; второе имеет скорее отрицательный смысл – «нечто неопределенное». Понятие бесконечности впервые ввел в философию Анаксимандр, философ и астроном, ученик Фалеса и учитель Пифагора, живший в VI в. до н. э. В космологии Анаксимандра бесконечность считалась одной из основ мироздания, своего рода неограниченным, неопределенным материалом, который служит основой всего сущего. Некоторые из исследователей досократовской философии видят в Анаксимандре первого метафизика, который включил в греческую философию абстрактную концепцию бога.

Какое бы значение слова «апейрон» мы ни взяли, в мире Пифагора ему не было места. Как вы, разумеется, помните, Пифагор был убежден, что мир состоит из чисел, и все в нем может быть сведено к представлению, построенному при помощи натуральных, то есть положительных целых, чисел. По сути дела, натуральные числа были атомами Пифагора.

И ошибочность этого убеждения открыл не кто иной, как сам Пифагор.

Есть некая ирония в том, что препятствие на пути рассуждений Пифагора о том, что все на свете в конечном счете может быть выражено при помощи чисел, явилось, каким бы невероятным это ни показалось, именно из геометрии – когда сам Пифагор обнаружил, что соотношение между стороной квадрата и его диагональю невозможно выразить отношением натуральных чисел.