Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

И вот вам еще одна открытая проблема: существуют ли устойчивые простые числа, большие 991, но состоящие не только из единиц? Небольшая подсказка: устойчивое простое число может содержать только цифры 1, 3, 7 и 9. Вполне очевидно, что, если в числе содержится цифра 5, то одна из перестановок его цифр даст составное число.

Палиндром – это текст, который читается одинаково в обе стороны. I prefer pi [22] Я предпочитаю π ( англ .). – пример фразы-палиндрома. А есть ли палиндромы среди простых чисел? Есть. На самом деле их немало: 919, 101, 14 741 – и множество других превосходных примеров (самое большое из доказанных простых чисел-палиндромов содержит почти полмиллиона знаков). Однако все еще не ясно, конечно или бесконечно их количество. Почему бы вам не наточить карандаши, не включить компьютер и не посмотреть, не сможете ли вы выяснить чего-нибудь по этому поводу.

Французский математик XVIII в. Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) выдвинул гипотезу, что между n ² и ( n + 1)² всегда есть по меньшей мере одно простое число.

Рассмотрим случай n = 2. Между 2² = 4 и 3² = 9 мы находим простые числа 5 и 7. Многие математики интуитивно верят в справедливость этой гипотезы, но, как мы уже говорили, когда имеешь дело с математикой, нельзя полагаться на одну лишь интуицию.

Выше, в разделе под названием «Царство составных чисел», мы узнали, что можно найти сплошную последовательность составных чисел (в которой не будет ни одного простого числа) произвольной длины. Один из студентов, которых я учил, решил, что это обстоятельство противоречит гипотезе Лежандра и, таким образом, доказывает ее ложность. Он ошибался. Последовательности составных чисел нельзя образовывать где попало. Как вы, должно быть, помните, последовательность из 100 чисел, которую мы рассматриваем, начиналась лишь со 100!. А 100! – огромное число {17} 17 Точнее, 100! равно 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000. , и в той области, в которой находится связанная с ним последовательность, промежутки между квадратами двух последовательных чисел тоже весьма велики, так что в них теоретически может найтись место по меньшей мере для одного простого числа. Заметим, что промежуток (то есть разность) между квадратом 100! и квадратом (100! + 1) составляет:

(100! + 1)² – 100!² = (100!² + 2 × 100! + 1) – 100² = 2 × 100! + 1.

То есть и этот промежуток поистине колоссален!

На момент написания этой книги никто не доказал истинности или ложности гипотезы Лежандра.

Те математики, с которыми мы знакомились до сих пор, были по большей части мужчины. Разве в истории не было заметных женщин-математиков? Были. И еще какие!

На этом месте я ненадолго отвлекусь от простых чисел, чтобы рассказать вам о некоторых из известных женщин-математиков. Можно сказать, что двумя из величайших женщин, занимавшихся математикой, были русская математик Софья Ковалевская (1850–1891) и немецкая математик еврейского происхождения Эмми Нётер (1882–1935), преданная поклонница Эйнштейна.

Невозможно быть математиком, не будучи в душе поэтом.

Однако история женщин в математике началась гораздо раньше.

Утверждается, что Феано из Кротона, жена Пифагора, была математиком и физиком, а также занималась медициной и психологией – то есть была настоящей женщиной Возрождения задолго до самого Возрождения. Дамо, дочь этого же первого исследователя чисел, тоже интересовалась математикой, была членом пифагорейской секты и, вероятно, внесла свой вклад по меньшей мере в некоторые из доктрин, которые приписывают ее отцу.

Самой знаменитой женщиной-математиком Древнего мира была, вне всякого сомнения, Гипатия Александрийская (родившаяся во второй половине IV в.). Ее отец, математик и философ Теон, решил вырастить из нее «совершенного человека» и попытался сделать так, чтобы она усвоила все знания, накопленные человечеством к этому времени. Он передал ей всё, что знал сам, а кроме того, отправлял ее учиться в Афины и в Рим. Большинство ее биографов отмечают, что математическими талантами она превосходила отца.

Гипатия была женщиной поистине разносторонне одаренной. Будучи в Александрии, она изучала философию Платона и Аристотеля. При жизни она прославилась и в качестве астронома и написала книгу под внушительным названием «Астрономический канон», представлявшую собой набор таблиц, которые описывали движение небесных тел. Гипатия славилась и замечательной красотой, но, если верить ее биографам, так и не вышла замуж.