Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Аристотель сказал однажды, что истинные друзья – это два тела с одной общей душой. А как определял дружбу Пифагор? Тут нас ожидает сюрприз.

По словам ученого-неоплатоника Ямвлиха (ок. 245 – ок. 325), автора еще одной биографии Пифагора, пифагорейское определение дружбы выражается двумя числами – 284 и 220.

Что?! Почему?!

Чтобы понять, откуда взялась эта идея, сложите все делители числа 220 (числа, на которые 220 делится без остатка), а затем сложите все делители числа 284. Сами эти числа включать в суммы не нужно.

Делители 220 – 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, а их сумма равна 284.

Делители 284 – 1, 2, 4, 71 и 142, а их сумма равна (чему бы вы думали?) 220!

Пифагорейцы считали, что близкие друзья подобны паре чисел, сумма делителей каждого из которых равна второму числу. В математике такую пару чисел называют дружественными числами.

Другие пары дружественных чисел можно найти при помощи компьютера. Помимо пары (220, 284) есть еще (1184 и 1210), (2620 и 2924), (5020 и 5564) и (6232 и 6368). Кроме этих пяти, других таких пар среди чисел до 10 000 нет. Если вам совсем нечего делать, попробуйте проверить, действительно ли эти пары – пары дружественных чисел. Другими словами, сложите собственные делители каждого числа (без самого этого числа) и посмотрите, равна ли их сумма второму числу пары.

Если хотите, вы можете взяться и за еще более трудную задачу – попытаться найти другие пары дружественных чисел. Для этого вы, вероятно, захотите прибегнуть к помощи компьютера, но имейте в виду, что в 1636 г. французский математик-любитель Пьер Ферма установил, что числа 17 296 и 18 416 образуют пару дружественных чисел, а два года спустя знаменитый французский философ и математик Рене Декарт открыл еще одну такую пару – 9 363 584 и 9 437 056.

На Декарта произвела глубокое впечатление концепция «бесконечности». В книге «Рассуждения о первой философии» он даже использует эту концепцию для «доказательства» существования Бога. Рассуждает он при этом приблизительно следующим образом:

«Поскольку сам я – существо конечное, я, очевидно, не могу изобрести концепцию бесконечности, так как по-настоящему охватить в своих мыслях понятие бесконечности может лишь нечто, само бесконечное. Следовательно, создателем концепции бесконечности может быть только Бог. Поскольку я могу осознать бесконечного Бога, а Бог – единственный, кто мог создать эту идею, значит, справедливо утверждение, что Бог существует!»

В XVII в. компьютеров не было – не говоря уже об интернете и социальных сетях, – что делает достижения Ферма и Декарта еще более поразительными. Как же они открыли эти огромные дружественные числа? Читайте дальше. По мнению некоторых историков математики, Декарт добился этого не вполне самостоятельно. На самом деле ту пару дружественных чисел, которую он опубликовал, нашел еще в XVI в. персидский математик Бакир Язди! Хорошо известно, что арабские математики знали довольно много пар дружественных чисел задолго до того, как их заново обнаружили математики Запада.

Более того, еще в IX столетии иракский математик, астроном и врач Сабит ибн Курра (826–901) сформулировал достаточное условие {7} 7 Условие это очень сложно, так что я не буду подробно описывать его. дружественности двух чисел {8} 8 Кроме того, Сабит ибн Курра одним из первых распространил теорему Пифагора для прямоугольных треугольников на случай произвольного треугольника. . Много веков спустя Декарт и Ферма нашли его формулу и использовали ее для своих «открытий».

Интересно отметить, что вторая по порядку возрастания пара дружественных чисел (1184 и 1210) не была открыта до 1866 г. Ее открыл итальянский мальчик по имени Б. Николо И. Паганини ( не знаменитый скрипач и композитор!). Непонятно, как все до единого математики со времен Пифагора умудрились не заметить эту прекрасную пару. Одной из причин этого может быть то обстоятельство, что к ней неприменим критерий, который разработал Сабит ибн Курра. Но может быть, дело просто в том, что «если ищешь ничто, то ничего и не найдешь».

К 2007 г. было открыто около 12 000 000 пар дружественных чисел. Как это ни странно, мы, по-видимому, живем в очень дружелюбном мире.

У Пифагора было много разных концепций относительно чисел: в частности, он верил, что у чисел бывают женские и мужские черты. Например, нечетные числа можно считать числами женского пола, а четные – мужского. Заметим теперь, что во все упомянутые до сих пор пары дружественных чисел входят только мужские (четные) числа.