A.A. Lokshin - Аннотация

В этом параграфе мы обсудим один из интереснейших вопросов, лежащих на стыке математики и психологии. В первом параграфе мы уже сталкивались с операцией выбора некоторого пр о извольного элемента. В статье [2], где эта операция была подробно рассмотрена, отмечалось, в частности, что упомянутая операция неявно апеллирует к существованию у человека свободы воли. Тем самым, как было отмечено в [2], такое понятие как независимая переменная также базируется на предположении о существовании у человека свободы воли [2] Рассуждая аналогично [2], можно показать, что и понятие бесконе ч ность основано на понятии свободы воли. .

Для преподавателя математики этот вопрос вовсе не является второстепенным – например, на уроках геометрии невозможно обойтись без « выбора произвольной точки ».

Любознательный ученик может тогда спросить:

– А что такое произвольная точка? Это то же самое, что случайно выбранная точка?

Ответ преподавателя будет, конечно, отрицательным. Заменив произвольно выбранную точку на точку, выбранную случа й н о, мы не сможем провести ни одного сколько-нибудь содержательного доказательства. Ведь случайно выбранная точка может совершенно случайно всегда оказываться, например, началом координат…

Но в то же время некоторая произвольно выбранная точка – это не то же самое, что каждая точка . Мы просто физически не можем выбрать каждую точку на плоскости – человек, как утверждают психологи, не способен одновременно уследить больше чем за семью объектами!

Преподаватель математики вовсе не должен перегружать своих учеников философскими размышлениями о наличии или отсутствии свободы воли у человека. Но понимать, что «выбор некоторого произвольного элемента» [3] Не путать с аксиомой выбора! – это операция, без которой математика беспомощна, на наш взгляд необходимо.

Похоже, однако, что представление о свободе воли является для человека врожденным, а сомнение в ее наличии есть некое «отклонение от нормы». К такому выводу нас подталкивают следующие обстоятельства.

Процитируем вначале учебник по высшей геометрии [3, с. 205]: «…точки, прямые и плоскости как образы нашего ге о метрического воображения не поддаются математич е скому опис а нию».

– Как же так? – может воскликнуть читатель, искушенный в математике. – А как же аксиомы Гильберта или аксиомы Клейна? Наконец, аксиомы Евклида? Разве они не определяют, что такое точка, прямая и плоскость?

– Конечно, определяют, – ответим мы. – Но только в некоем абстрактном пространстве, а не в пространстве наших зрительных образов. То есть определяют, но не то, что нужно…

Иными словами, с помощью логики, опираясь на информацию, поступающую от органов чувств, придти к понятию «точка», по-видимому, невозможно. Но откуда же тогда взялось это понятие?

Процитирую в этой связи статью Александра Маркова («Элементы», 21.06.10):

<< Ключевую роль в пространственном мышлении у млек о питающих играют три группы нейронов: «клетки места», «клетки направления» и «клетки координатной сетки». Две команды исследователей независимо друг от друга обнаруж и ли, что у маленьких крысят, впервые в жизни отправившихся на прогулку, уже есть нормал ь но работающие клетки первых двух типов, и только клетки третьего типа появляются н е много позже. По-видимому, это означает, что восприятие пространства у млекопитающих в значительной мере явл я ется вро ж денным .>>

Любопытно сравнить результаты этих опытов с методикой обучения младших школьников понятию «точка» (сообщено авторам Н. Лукановой):

Если просто нарисовать на листе бумаги точку фломастером или ручкой, то у ребенка может создаться впечатление, что точка – это небольшая клякса, поэтому добавляют: « Точка не имеет толщины , точка – это место ». Замечательно, что дети легко понимают, что именно имеется в виду.

Приведу теперь еще одну цитату из вышеупомянутой статьи А. Маркова:

<<���… известно, что основные нейрологические механи з мы пространственного восприятия у людей и крыс примерно од и наковы, поэтому результаты этих исследований почти н а верняка приложимы к людям.>>