A.A. Lokshin - Аннотация

Рассмотрим теперь общеизвестную истинную импликацию

«Если ветер дует, то деревья качаются». (1)

Тогда высказыванием, противоположным к обратному (по отношению к (1)), очевидно, будет

«Если деревья не качаются, то ветер не дует». (1)

В полном соответствии с законом контрапозиции это высказывание также оказывается истинным.

Посмотрим теперь, что будет, если мы переформулируем оба утверждения (1) и (1) в прошедшем времени. Тогда наши утверждения примут соответственно вид

«Если ветер дул, то деревья качались»; (2)

«Если деревья не качались, то ветер не дул». (2)

Вновь оба утверждения оказались истинными (и закон контрапозиции по-прежнему не нарушен).

Сформулируем теперь наши высказывания в будущем времени. Казалось бы, ничто не предвещает «краха» закона контрапозиции. Однако, мы получаем следующий довольно странный результат:

«Если ветер будет дуть, то деревья будут качаться»; (3)

«Если деревья не будут качаться, то ветер не будет дуть». (3)

Неужели закон контрапозиции неверен?

Объяснение кажущегося парадокса состоит в следующем.

В естественном языке мирно сосуществуют два различных по смыслу союза «если…, то…». Первый из них, который мы назовем логическим следованием , фактически утверждает:

«Если А, то одновременно с А имеет место и В».

Второй из упомянутых союзов, который мы назовем причи н ным следованием , в развернутом виде утверждает нечто иное:

« Если с некоторого момента А, то вскоре после этого имеет место и В».

Операция →, с которой мы имели дело всюду выше, представляла собой обобщение именно логического следования. Закон контрапозиции, справедливость которого установлена в формальной логике для операции →, вне всякого сомнения верен и для этого первого смыслового значения союза «если…, то…». При этом использование будущего времени при формулировке высказываний А и В никак не влияет на справедливость закона контрапозиции для операции логического следования. Например, одновременно истинны высказывания:

«Если число, которое ты задумаешь, будет делиться на 9, то оно будет делиться и на 3» и «Если число, которое ты задум а ешь, не будет делиться на 3, то оно не будет делиться и на 9».

Отличие этой пары высказываний от (3), (3) очевидно!

Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно разобраться в том, почему к парам высказываний (1), (1) и (2), (2) закон контрапозиции оказался применим, а также в том, как следует видоизменить этот закон, чтобы он стал применим и к высказываниям в будущем времени, содержащим операцию причинного следования.

Эффект, аналогичный кажущемуся нарушению закона контрапозиции, возникает и для логического союза «тогда и только тогда, когда…». Например, высказывание

«На улице станет светло тогда и только тогда, когда взо й дет солнце» , (4)

очевидно, истинно и имеет, на первый взгляд, структуру А↔В. Однако, попытка поменять А и В местами немедленно приводит к абсурду:

«Солнце взойдет тогда и только тогда, когда на улице ст а нет светло». (4)

Любопытно, что высказывания, аналогичные (4), но сформулированные в прошедшем и настоящем времени, по-прежнему абсурдны (в отличие от (1) и (2)).

По просьбе авторов в одном из вузов среди первокурсников был проведен опрос:

Можно ли « распилить» куб на четыре куба?

(При этом куб, который требовалось «распилить» указанным образом, был изображен на доске в проекции Кабине; см. рис. 13.1. В этой проекции отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют ½ их действительной длины.)

Первокурсники дружно (50 человек из 60) ответили – «можно!»

В группе, где студенты были знакомы с началами логики, вопрос был задан в следующей «научной» форме (и было дано значительное время для обдумывания):

Истинно ли утверждение: <<���Куб невозможно «расп и лить» на четыре куба>>?

Ответом было всеобщее: «Нет, это утверждение ложно!»

Однако, распилить куб на четыре куба действительно н е возможно. Нетрудно показать, что наименьшее число кубов, на которые можно «распилить» исходный куб, равно восьми.Доказать это можно, например, так. Никакие две вершины исходного (большого) куба не могут одновременно принадлежать ни одному из получившихся в результате распиливания кубиков. Однако, у исходного куба 8 вершин. Поэтому маленьких кубиков после распиливания получится по крайней мере восемь.