Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Можно нарисовать таблицу и подсчитать результаты для каждого действия.

И так далее. В конечном итоге можно заполнить таблицу для всех 20 делений и найти ответ.

Воспользуемся стратегией поиска закономерности для решения этой задачи. После 1-го деления в стопке будет 2 слоя бумаги, после 2-го деления — 4 слоя, после 3 деления — 8 слоев. В экспоненциальной форме количество слоев можно представить, как 2 1, 2 2, 2 3, …, или 2 nв общем виде. После 20 делений толщина стопки составит 0,0254 × 2 20, или около 26 645 мм, что составляет примерно 26,6 м. Вот почему в задаче говорится: « Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз».

Сколько квадратов всех размеров на стандартной шахматной доске размером 8 × 8 клеток?

Первой реакцией будет ответ 8 × 8 = 64 квадрата, однако слова «всех размеров» говорят о том, что могут существовать и другие ответы. Математический подход предполагает подсчет количества квадратных областей всех размеров на шахматной доске с 64 клетками, т. е. 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 и т. д. Это неудобно и довольно трудно, поскольку перекрывается множество клеток. К тому же в процессе подсчета легко сбиться, так что такой метод скучен и проблематичен.

Попробуем применить стратегию поиска закономерности в сочетании с таблицей для организации данных. Если начать с доски размером 1 клетка на 1 клетку, то, очевидно, на ней будет только один квадрат, т. е. квадрат 1 × 1. На доске размером 2 клетки на 2 клетки мы увидим четыре квадрата 1 × 1 и один квадрат 2 × 2, т. е. всего 5 квадратов. Представим данные в таблице по мере увеличения размера нашей доски от 1 × 1 до 2 × 2, 3 × 3 и т. д.

В таблице явно просматривается закономерность заполнения клеток в каждой строке, поэтому мы быстро определяем, что на шахматной доске размером 8 × 8 клеток находятся 204 квадрата всех размеров.

В представленной выше таблице можно заметить не только одну закономерность. В ней, например, встречается множество квадратов целых чисел. А если взглянуть на колонку «Всего» и определить разность между следующими друг за другом членами, то мы получим интересную последовательность:

5–1 = 4

14–5 = 9

30–14 = 16

55–30 = 25

91–55 = 36

140–91 = 49

204–140 = 64.

Опять мы получаем квадраты целых чисел. Если теперь найти разность второго порядка, т. е. разность между квадратами, то мы получим последовательность нечетных чисел, начиная с 5:

9–4 = 5

16–9 = 7

25–16 = 9

36–25 = 11

49–36 = 13

64–49 = 15.

Закономерности не только очень полезны для решения задач, как мы видели выше, они также придают прелесть математике.

Таблица, представленная ниже, продолжается бесконечно. Какая буква будет находиться в середине 30-го ряда?

Можно продолжить выписывать буквы в каждом ряду, пока не дойдем до 30-го ряда. Теперь можно определить, какая буква находится в середине. Такой метод громоздок, но он дает правильный ответ.

Это классический пример того, насколько эффективно поиск закономерности позволяет решать задачи. Для выявления закономерности построим еще четыре ряда букв.

Поскольку в последовательности 6 букв, ряды будут повторяться после каждых 6 букв. Более того, поскольку 30 кратно 6, буква в середине 30-го ряда будет той же самой, что и в середине 6 ряда, т. е. A. Стратегия распознавания закономерности делает решение задачи очень легким.

Найдите цифру в разряде единиц у каждого из следующих чисел:

a) 8 19;

b) 7 197.

(Понятно, что это нужно сделать, не прибегая к помощи калькулятора или компьютера.)

Некоторые пытаются решить эту задачу путем возведения 8 в степень с помощью калькулятора и очень быстро выясняют, что большинство калькуляторов не позволяет воспроизвести ответ такой величины. Количество разрядов на дисплее заканчивается раньше, чем на него будет выведено целевое значение.