Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Закономерности широко используются полицией. Если происходит серия преступлений, то следователь ищет стиль поведения преступников ( modus operandi ).

Врач обычно смотрит на характер поведения человека, чтобы определить его заболевание. Имея за плечами опыт лечения болезней, он распознает закономерные проявления недуга.

Эффективность стратегии распознавания закономерностей видна яснее всего на конкретных примерах, особенно когда не очевидно, что эту стратегию можно использовать для решения данной задачи. Допустим, вас просят найти цифру в разряде единиц у числа, представленного как 13 23. Наиболее очевидный подход — взять калькулятор и возвести 13 в 23-ю степень. Однако это сложная задача, даже если есть калькулятор, способный воспроизвести количество разрядов такого огромного числа. Вместо этого можно проанализировать результаты возведения числа 13 в степень в порядке возрастания показателя и посмотреть, не образуют ли последние цифры какую-либо закономерность, помогающую дать ответ.

Похоже, при возведении числа 13 в степень последняя цифра образует ряд:

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, …

Изменения происходят с периодом 4. Таким образом, число 13 23будет иметь ту же цифру в разряде единиц, что и 13 3, т. е. 7.

Фактически эта задача высвечивает интересный вопрос в отношении закономерностей. Можно ли утверждать, что при возведении всех чисел в степень цифра в разряде единиц изменяется циклически? Некоторые числа можно назвать сразу. Например, 5 в любой степени будет иметь в конце 5 (5, 25, 125, 625, …). Такое свойство чисел очень интересно и ценно для решения задач путем распознавания закономерности. Попробуйте определить закономерность изменения цифры в разряде единиц при возведении в степень других чисел.

Следует, однако, предостеречь читателей. Иногда случается, что закономерность вроде бы есть, но не вполне стабильная. Например, кажется, что любое нечетное число, начиная с 3, можно представить, как сумму 2 в той или иной степени и нечетного числа. При попытке проверить это практически оказывается, что данное «правило» выполняется вплоть до числа 125. Как ни странно, но оно не действительно для следующего нечетного числа 127. Таким образом, применять стратегию распознавания закономерности для решения задач следует с осторожностью. Впрочем, это всего лишь исключение, которое не должно удерживать вас от использования данного метода.

3 = 2 0+ 2

5 = 2 1+ 3

7 = 2 2+ 3

9 = 2 2+ 5

11 = 2 3+ 3

13 = 2 3+ 5

15 = 2 3+ 7

17 = 2 2+ 13

19 = 2 4+ 3

и так далее

51 = 2 5+ 19

и так далее

125 = 2 6+ 61

127 =?

129 = 2 5+ 97

131 = 2 7+ 3.

Перейдем теперь к задачам, которые наиболее эффективно решаются путем распознавания закономерности, особенно когда такая закономерность не очевидна.

Какая цифра находится в разряде единиц у числа, где — это показатели степени?

К сожалению, находятся люди, которые полагают, что для определения значения этого числа нужно последовательно возвести основание в степень вплоть до последнего показателя. Такой подход не может быть успешным!

Попробуем выяснить, существует ли какая-то закономерность в числах по мере повышения показателя степени в соответствии с условиями задачи. По мере повышения показателя основания 2 цифры в разряде единиц изменяются в последовательности 2, 4, 8, 6.

2 1= 2

2 2= 4

2 3= 8

2 4= 16

2 5= 32

2 6= 64

2 7= 128

2 8= 256.

Результат на третьей ступени наших вычислений ниже кратен 4, а любой результат возведения 2 в степень, кратный 4, дает число, у которого в разряде единиц стоит 6.

Таким образом, у нашего числа в разряде единиц находится цифра 6.

В каждой приведенной ниже прямоугольной решетке содержится определенное количество точек. Сколько точек будет на рис. 49?

Очевидный подход — это последовательное построение решеток вплоть до рис. 49, в котором можно подсчитать точки. Это займет много времени и потребует огромного терпения, не говоря уже о количестве бумаги. Вместе с тем наверняка должен существовать более практичный подход к решению этой задачи.