Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

В применениях математики широко используются степенные ряды вида a 0+ a 1x + a 2x 2+ a 3x 3+ … и тригонометрические ряды, или ряды Фурье (скажем, a 0+ a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + … ).

В противоположность этому попытки Паскаля заинтересовать Ферма и Гюйгенса теорией вероятностей, в значительной степени созданной этими тремя учеными, оказалась полностью удачными; частично, видимо, это объяснялось тем,что теория вероятностей возникла сразу же как «прикладная» наука (со столь, впрочем, малопочтенной областью применения, как теория азартных игр), а частично, может быть, прозорливой интуицией гениев, «предчувствующих» будущие глубочайшие прикладные возможности создаваемой ими области математической науки.

В частности, законы умножения гамильтоновых «кватернионных единиц» i, j и k прояснило идущее от Гамильтона отождествление этих «единиц» с (физическими) вращениями пространства на 90° вокруг трех взаимно перпендикулярный осей: 0x, 0y и 0z .

Здесь трудно удержаться от соблазна процитировать одно место из предисловия к книге [100] замечательных математиков и педагогов Д. Пойа (Полиа) и Г. Сегё: «Не нужно забывать, что существуют обобщения двух родов: малоценные и полноценные. Первые — обобщения путем разрежения, другие — путем сгущения. Разредить — значит, наболтав воды, изготовить жиденькую похлебку, сгустить — значит составить полезный, питательный экстракт. Соединение понятий, мало связанных друг с другом для обычного представления, в одно объемлющее есть сгущение; так сгущает, например, теория групп рассуждения, которые прежде, будучи рассеянными… выглядели совершенно различными. Привести примеры обобщения путем разрежения было бы еще легче, но мы не хотим наживать себе врагов».

Вожди группы Бурбаки охотно декларировали «антиприкладной» характер своего творчества (ср., например, цитируемую ниже статью [115] Ж. Дьедонне), но к этому их тезису, как и к некоторым другим высказываниям, следует относиться с осторожностью. Известно, что один из основателей (и наиболее влиятельных членов) группы Бурбаки Андре Вейль по просьбе знаменитого антрополога и философа Клода Леви-Стросса написал математическое приложение «Математическая теория брачных союзов» к диссертации Леви-Стросса «Элементарные системы родства» (1949). С другой стороны, весьма близкий группе Бурбаки Рене Том является создателем имеющей огромное прикладное значение так называемой теории катастроф (см. [101]) и отличается поразительной широтой внематематических интересов (см., например, [102]). Кроме того, несмотря на неоднократно декларировавшуюся вождями группы Бурбаки антиприкладную направленность их группы, в целом свойственное этой группе стремление рассматривать математику как науку о математических структурах (см. [11]*) идет навстречу определенным устремлениям в современной прикладной математике, выражающимся в росте значения математического моделирования внематематических феноменов (ср. [103]).

Поразительна близость этой позиции Фурье к воззрениям пифагорейцев (гл. I).

В последней части «Применение к пространству» замечательной лекции [106] Риман сам подробно обсуждает приложимость к (будущей) физике предложенных им геометрических схем.

Классификация дифференциальных уравнений по свойственным им группам симметрии была произведена великим норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899), который построил своеобразную «теорию Галуа для дифференциальных уравнений», где вопрос о решимости алгебраического уравнения в радикалах заменялся вопросом о решимости дифференциального уравнения «в квадратурах» (т.е. с применением операции интегрирования). В свое время эта теория пользовалась очень большой популярностью, но затем в связи с наступлением века ЭВМ, поставившего совсем по-другому вопрос о решении дифференциальных уравнений, была почти забыта. Взрывоподобный рост интереса к учению Ли о «группах симметрии дифференциальных уравнений», выразившийся, в частности, в появлении большого числа посвященных этой теме книг (см., например, [109]) и диссертаций, относится к последним десятилетиям; это связано с той большой ролью, которую играют соображения симметрии в современной физике.

Артур Кали дал общее (абстрактное) определение группы еще в работах 1849-1854 гг. [у Э. Галуа фигурировали только группы подстановок. — Ред. ], но значение этого понятия было оценено по достоинству лишь после того, как оно стало широко применяться в математике и естественных науках (о некоторых применениях мы упоминали выше).