Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

В некоторых более ранних работах «доказывалось», что аксиоматические системы, положенные в основу той или иной области математики, категоричны, т.е. что все интерпретации любой из таких аксиоматических систем изоморфны — совпадают по существу и отличаются лишь терминологией. Но такого рода «доказательства» были нестрогими, поскольку строились на логических принципах, недопустимых в метаматематике Гильберта, и, кроме того, прежде аксиоматические основы не формулировались столь тщательно, как теперь. Ни одна система аксиом, несмотря на «доказательства» Гильберта и других авторов, не является категоричной.

Грубо говоря, аксиоматика «гипервещественных» чисел R* получается из аксиоматики вещественных чисел R («укороченный» вариант последней, включающей все необходимое для построения аналитической геометрии, содержится в книге [92], а более полные ее варианты — во многих учебных пособиях, например, [93] или [94]) прибавлением «отрицания аксиомы Архимеда», которому можно придать следующую форму: существует такое число ε («бесконечно малое число»), что ε > 0 и ε < 1/n при любом натуральном n. Следствием этой аксиомы и других аксиом, постулирующих свойства действий (сложение, умножение) над числами, являет довольно сложная структура «гипервещественной прямой» R* ; впрочем, для использования бесконечно малых в (поставленных А. Робинсоном на твердую почву) рассуждениях детальное значение структуры R* вовсе не обязательно.

Доказательства Кантора и Пеано корректны, если использовать, обычное аксиоматические свойства вещественных чисел. Единственное свойство, которые необходимо изменить, чтобы гипервещественные числа стали возможными, — это аксиома Архимеда, о которой мы уже неоднократно упоминали. Система гипервещественных чисел R* неархимедова в обычном смысле слова. Но она становится архимедовой, если включить в систему гипервещественных чисел бесконечные кратные гипервещественного числа a*.

Например, в нестандартном анализе отношение бесконечно малых dy/dx существует в системе R* и для y = x 2 отношение dy/dx равно 2x + dx, где dx — бесконечно малая, т.е. dy/dx — гипервещественное число. Производная функции y = x 2 — это обычная вещественная часть гипервещественного числа dy/dx, т.е. (вещественное) число 2x. Аналогично определенный интеграл в нестандартном анализе есть сумма бесконечно большого числа бесконечно малых (число слагаемых — гипервещественное натуральное число).

Сегодня уже существуют задачи, которые удалось решить лишь с использованием нестандартного анализа; правда, видимо, все эти задачи можно было бы решить и традиционными методами, но в таком случае решения были бы, вероятно, значительно более сложными. Вообще, нестандартный анализ надо рассматривать не как новую область математики, а скорее лишь как еще один математический «язык», идущий от Лейбница, но лишь в наши дни ставший равноправным, скажем, с « ε-δ- языком» Коши. При этом язык нестандартного анализа оказывается весьма удобным и естественным в ряде прикладных задач (см., например, [87]; ср. со сказанным в тексте об использовании «бесконечно малых величин» физиками и техниками); ряд преподавателей высшей школы (например, в нашей стране Μ.Μ. Постников) высказывает убеждение в педагогических достоинствах этой модификации лейбницевского «исчисления дифференциалов» при изложении основ «высшей математики» начинающим (ср. [95], [96]).

Различие между математикой и «теоретическим» естествознанием полностью осознавал Лейбниц. «Универсальная математика, — писал он, — это, так сказать, логика воображения»; предметом ее является «все, что в области воображения поддается точному определению». В XIX в. специфику математики, отличие ее от естественных (и гуманитарных) наук отчетливо понимали, скажем, замечательный немецкий математик Герман Грассман, говоривший, что «чистая математика есть наука особого бытия, поскольку она рождена в мышлении», или один из создателей математической логики англичанин Джордж Буль, еще четче сформулировавший ту же мысль: «Математика изучает операции, рассматриваемые сами по себе, независимо от различных материй, к которым они могут быть приложены». Я. Бойаи (в отличие от Лобачевского или Гаусса) при создании неевклидовой геометрии подходил к ней не как к возможной системе устройства физической Вселенной, а как к чисто логической схеме, «аксиоматизированной структуре», как сказали бы мы сегодня. При этом любопытно отметить, что Лейбниц (в отличие от Ньютона), Грассман, Буль или Я. Бойаи не получили специального математического образования и были полностью свободны от давления сложившихся традиций, что в чем-то, конечно, ограничивало их возможности, но в то же время придавало их мышлению особую свежесть и остроту.