Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983, c. 400.

Мы уже указывали на своеобразный характер религиозности Лейбница, для которого бог играл роль гаранта истинности логики, но, «создав однажды» Вселенную, далее никак не вмешивался в ее функционирование. (Разумеется, Лейбниц и не подозревал, что возможных логических систем существует много; осознание этого обстоятельства заставило бы его полностью пересмотреть всю свою религиозно-философскую систему.)

Рассчитанное на самого широкого читателя изложение взглядов А. Уайтхеда (а частично и Б. Рассела) на математику можно найти в (к сожалению, сейчас уже труднодоступной) книге [57].

Создатель современной алгебраической структуры математической логики Дж. Буль в качестве основных операций над высказываниями использовал конъюнкцию и исключающую дизъюнкцию (которую сегодня чаще называют «симметрической разностью» высказываний p и q ).

Здесь терминология (и символика) авторов «Оснований математики» несколько расходится с принятой в нашей литературе. Следует различать (бинарное) отношение следования между высказываниями, которое может иметь или не иметь место (в абстрактной форме — подмножество декартова квадрата Ρ×Ρ , где Ρ — множество высказываний; отношение «из p следует q » записывают как p q , но иногда и наоборот — как p q ), и импликацию — (бинарную) операцию алгебры высказываний, сопоставляющую двум высказываниям p и q третье высказывание p q , которое, как и любое, высказывание, может быть истинным или ложным; при этом истинность импликации p q равносильна тому, что (в обозначениях Рассела — Уайтхеда) p q.

Под «истинным элементарным высказыванием» здесь понимается то, что у нас часто называют «тождественно истинным высказыванием», т.е. такое высказывание, которое ни в каком случае не может быть ложным.

По этому поводу см. статьи выдающихся физиков, лауреатов Нобелевской премии Е.П. Вигнера [96]*, Ч. Янга [60] и В. Гейзенберга [61]; цитируемые в гл. XV высказывания А. Эйнштейна и названные там его статьи, а также [4].

Разумеется, из (ложной!) «аксиомы» 2×2 = 100 следует (истинная!) теорема «2×2 — четное число» (как, впрочем, и теорема «2×2 — нечетное число», если только следование предложений понимать в соответствии с определением материальной импликации).

По поводу современных взглядов на роль интуиции и дедукции в понимании мира см., например [32], а также [62].

Предложенное (почти одновременно и, по видимому, независимо) Р. Дедекиндом и Дж. Пеано аксиоматическое описание целых (или целых положительных — натуральных) чисел хронологически почти совпало со смертью Кронекера (основополагающая работа Пеано вышла в свет в год смерти Кронекера); поэтому он уже не мог высказать свое мнение по поводу этой новой теории.

Предшествующее Кантору доказательство существования трансцендентных чисел принадлежит французскому математику Жозефу Лиувиллю (1809-1882), построившему конкретные примеры таких чисел (1851); Кантор же доказал, что в определенном смысле «почти все» вещественные числа являются трансцендентными (причем его доказательство было существенно «неконструктивным», т.е. не позволяло указать ни одного такого числа).

По поводу полемики между Пуанкаре и Кутюра см. [63].

Интуиционистскую платформу Вейля достаточно выразительно характеризует сборник его более ранних статей [64].

Нам нет необходимости вдаваться в технические детали этих теорем. Мы упоминаем их лишь для того, чтобы привести конкретные примеры. [Отметим также, что отказ интуиционистов от закона исключенного третьего не означал еще полного отказа от какого бы то ни было логического аппарата — речь шла лишь о пересмотре фундаментальных законов логики, из числа которых отбрасывался закон исключенного третьего (ср. ниже). — Прим. ред. ]

Несколько иначе подходил к понятию «существования» математического объекта Пуанкаре. Для него, как для формалистов (гл. XI), понятие было приемлемым, если оно не приводило к противоречиям.