Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Шекспир В. Избранные произведения. — М. — Л.: ГИХЛ, 1950, с. 581 (перевод М.Л. Лозинского).

Огюст Конт (1798-1857) — видный французский философ, один из основоположников и бесспорный лидер позитивизма, утверждающего, что целью науки являются наблюдение и эксперимент, а также формулировка тех выводов, которые прямо отсюда следуют. Конту принадлежит идея о естественной иерархии наук в направлении уменьшения их абстрактности; при этом при построении любой науки должны быть известны основные факты всех предшествующих ей наук. Эта «лестница Конта» начиналась с математики (являющейся, таким образом, фундаментом любого знания) и заканчивалась социологией (термин, впервые введенный Контом).

Исчисление предикатов первой ступени, как доказали Гильберт и другие, непротиворечиво, и аксиомы его независимы.

Теорема Гёделя о неполноте применима и в случае обращения к исчислению предикатов второй ступени (гл. VIII). [По поводу теорем Гёделя см., например, [81], а также обращенные к более широкому кругу читателей статью [82] и брошюру [83]. — Ред. ]

Доступное изложение теоремы Гёделя и некоторых других упомянутых ниже понятий и результатов имеется в небольшой по объему и требующей минимальной предварительной подготовки книге [84].

Разумеется, это утверждение автора не означает, что ранее Гёделя математики не знали неполных аксиоматических систем, в которых вполне осмысленное в рамках этой системы утверждение не может быть ни опровергнуто, ни доказано «подобно тому как, скажем, дополнив стандартную аксиоматику теории групп требованием (аксиомой) о конечности группы, мы все равно не сможем ответить на вопрос о том, четен или нечетен порядок (число элементов) группы. [Н. Бурбаки — см., например, [68] — считает даже, что единственным принципиальным отличием современной математики от античной является признание равноправности неполных аксиоматических систем с полными, в то время как древние греки признавали лишь полные аксиоматические «системы вроде (до конца ими не аксиоматизированных) евклидовой геометрии или системы вещественных чисел. Возможно, первой сознательно рассмотренной математиками неполной аксиоматической системой была абсолютная геометрия Я. Бойаи, получающаяся из обычной аксиоматики евклидовой геометрии отбрасыванием аксиомы параллельных; в рамках этой аксиоматической системы, описывающей, так сказать, «общую часть» евклидовой и гиперболической геометрии, нельзя было ответить, скажем, на вопрос, проходит ли через внешнюю по отношению к прямой a точку А одна или много не пересекающих a прямых.] Однако ранее математики, впрочем, обычно не формулируя этого утверждения явно, полагали, что любую неполную аксиоматику можно дополнить какими-то новыми аксиомами, с тем чтобы она стала полной; работы же Гёделя совсем по-новому поставили вопрос о том, что есть в математике истина.

Обычная математическая индукция доказывает, что теорема верна для всех конечных положительных целых чисел. Трансфинитная индукция использует тот же метод, но распространяет его на вполне упорядоченные множества трансфинитных ординальных чисел.

Доступен и начинающему рассказ [88] о работе Ю. Матиясевича; несколько больших знаний требуют комментарии к 10-й проблеме Гильберта в [51] (освещение ситуации, какой она представлялась до решения проблемы) и в [89], где статья о 10-й проблеме Гильберта, принадлежит основным участникам ее решения М. Девису, Ю. Матиясевичу и Дж. Робинсон. (Видный логик Джулия Робинсон, заложившая первые камни в основание построенного Матиясевичем здания, является сестрой создателя нестандартного анализа Абрахама Робинсона (см. далее), Мартин Девис — автор одного из лучших учебников нестандартного анализа [86].

Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что кардинальное число множества всех подмножеств некоторого множества, обладающего кардинальным числом N n , равно N n+1 (т.е. 2 N n = N n+1 ). Кантор доказал, что 2 N n > N n .

Помимо статьи [17]*, рассчитанной на самую широкую аудиторию, можно назвать обстоятельную книгу [90] и обзор [91].

В теории групп аксиома коммутативности умножения не зависит от остальных аксиом группы. Существуют модели группы, удовлетворяющие аксиоме коммутативности (например, обычные положительные и отрицательные числа); другие же модели (скажем, кватернионы) аксиоме коммутативности не удовлетворяют.