Льюис Кэрролл: Логическая игра

Предположим теперь, что мы разделили наш «Мир предметов» тремя способами в соответствии с тремя различными признаками. Из трех признаков можно составить три различные пары (например, если имеются признаки a, b, c, то из них можно составить три пары ab, ac и bc). Предположим кроме того, что два суждения, содержащие две из трех пар признаков, нам даны, и что из них мы умеем выводить третье суждение, содержащее оставшуюся (третью) пару признаков. (Пусть, например, мы разделили наш «Мир» в соответствии с признаками m, x и y. Тогда, если нам даны два суждения «Ни одно m не есть x'» и «Все m' суть y», содержащее пары признаков mx и my, то, опираясь на них, мы можем доказать третье суждение, содержащее признаки x и y.)

В этом случае те суждения, которые даны, называются посылками , третье, выводимое из них суждение — заключением , а все вместе — силлогизмом .

Ясно, что либо один из признаков непременно должен входить в обе посылки, либо в одну посылку должен входить сам признак , а в другую — ему противоположный .

В первом случае термин, который повторяется дважды (например, когда в качестве посылок выбраны суждения «Некоторые m суть x» и «Ни одно m не есть y'»), называется средним термином , поскольку он служит своего рода связующим звеном между двумя другими терминами.

Во втором случае (например, когда посылки имеют вид суждений «Ни один m не есть x'», и «Все m' суть y») два термина, содержащие противоположные признаки, можно назвать средними терминами.

Таким образом, в первом случае средний термин — это класс «m-предметов», во втором случае в роли средних терминов выступают два класса — «m-предметов» и «m'-предметов».

Признак, входящий в средний член или в средние члены, не входит в заключение. О нем говорят, что его «исключили» (по-ученому, «элиминировали»), что означает буквально «выставили за дверь».

Попытаемся вывести заключение из двух посылок:

«Некоторые свежие булочки неполезные»,

«Ни одна вкусная булочка не неполезная».

Чтобы выразить их с помощью фишек, необходимо разделить булочки тремя различными способами: по тому, свежие ли они, вкусные или полезные. Для этого нам придется воспользоваться большой диаграммой, условившись заранее, что x означает «свежие», y — «вкусные» и m — «полезные». (Все, что находится внутри центрального квадрата, по предположению обладает признаком m, все, что находится вне его, — признаком m', т. е. «не-m».)

В качестве m лучше всего выбрать признак, входящий в средний термин или в средние термины. (Я обозначил этот признак буквой m потому, что именно с нее начинается слово middle — «средний».)

Изображая на диаграмме посылки силлогизма, лучше всего начинать с отрицательной посылки («Ни один…» и т. д.). Дело в том, что расстановка черных фишек не вызывает никаких сомнений и помогает уточнить расположение красных фишек, которые иногда испытывают легкую неуверенность относительно того, где их присутствие наиболее желательно.

Изобразим, например, суждение «Ни одна вкусная булочка не есть неполезная (булочка)», т. е. «Ни одна y-булочка не есть m'-булочка». Оно говорит нам, что ни одна из булочек, находящихся на половине y подноса, не находится в его клетках m' (т. е. «уголках», лежащих вне центрального квадрата). Следовательно, обе клетки — m'-клетка 9 и клетка 15 — пусты, и на каждую из них мы должны поставить по черной фишке:

Нам осталось изобразить на диаграмме вторую посылку, а именно: «Некоторые свежие булочки суть неполезные (булочки)», т. е. «Некоторые x-булочки суть m' (булочки)». Последняя форма суждения говорит нам, что некоторые из булочек, находящихся на половине x нашего подноса, разместились в его клетках, помеченных буквой m'. Следовательно, одна из этих двух клеток — 9 или 10 — занята. Поскольку нам неизвестно, на какую из двух клеток следует поставить красную фишку, мы, следуя обычному правилу, должны были бы поставить ее на границу, разделяющую клетки-«соперницы». Однако в данном случае первая посылка позволяет решить спор: в ней говорится, что клетка 9 пуста . Следовательно, у красной фишки нет выбора. Волей-неволей ей приходится отправиться на клетку 10:

Какие сведения можно извлечь из этой диаграммы, чтобы с их помощью расставить фишки на малой диаграмме и, исключив признак m, получить суждение, содержащее только признаки x и y? Рассмотрим по очереди все четыре клетки малой диаграммы.