Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

Хотя Эно утверждал, что описал странный аттрактор (то есть аттрактор, имеющий фрактальную природу), правильность его выводов подтвердили шведские математики Майкл Бенедикс и Леннарт Карлесон лишь в 1991 году.

Аттрактор Эноимеет фрактальную структуру, то есть обладает самоподобием (он повторяется в различных масштабах снова и снова).

Бог и Дьявол сошлись в одном: способность человека предсказывать будущее безнадежно ограничена. Теория относительности Эйнштейна избавила ученых от иллюзий об относительном пространстве и времени, описанных в классической физике Ньютона, квантовая теория Бора, Планка и Гейзенберга, в свою очередь, покончила с мечтами о точных измерениях, а теория хаоса в одночасье уничтожила фантазии о возможностях предсказания будущего.

Самым важным ударом по традиционной мысли стало понимание того, что предсказать поведение многих систем на больших интервалах времени в принципе невозможно, так как решения уравнений, описывающих движение этих систем, крайне неустойчивы. Сложное поведение подобных систем вызвано не внешним воздействием, не обилием степеней свободы и не квантовыми эффектами. Уравнения, описывающие движение системы, детерминированы, однако их решения обладают стохастическими свойствами. Это явление называется детерминированным хаосом.

Попытаемся объяснить детерминированный хаос с точки зрения математики, ведь, как говорил Чарльз Дарвин, «математика наделяет человека новым, шестым чувством».

Хаотические и сложные системы на протяжении многих десятилетий были забыты официальной наукой. Наука XX века позволила понять, из какой ткани соткана Вселенная, познать относительность пространства-времени и микрокосм квантовой механики (его можно сравнить с игровым полем), а современная наука помогает лучше понять, как устроена наша реальность (то есть фишки на игровом поле). Однако подлинное величие науки в конечном итоге проявляется на практике, и лишь теперь, в начале XXI века, мы постепенно начинаем осознавать важность теории хаоса и наук о сложности.

В действительности теория хаоса — лишь одна из так называемых наук о сложности, так как хаотические системы — это всего одна из разновидностей сложных систем. Существуют и другие науки о сложности: фрактальная геометрия, теория катастроф, нечеткая логика и другие. Говорят, что описать класс систем, изучаемых в теории хаоса, сложно, потому что они находятся на полпути между порядком и беспорядком, словно между двух огней. Если крайне упорядоченные системы (например, хрусталь) или очень неупорядоченные системы (например, дым) просты и описать их несложно, то описать промежуточные системы сложнее всего. В частности, хаотические системы — это нелинейные детерминированные системы, обладающие непериодическим поведением, в силу которого они становятся непредсказуемыми. Согласно китайской пословице, взмах крыльев бабочки можно ощутить на другой стороне Земли. Или, как писал математик Блез Паскаль, будь нос Клеопатры чуть покороче, облик Земли стал бы иным: Октавиан влюбился бы в Клеопатру и не стал бы первым римским императором. Кроме того, как вы увидите чуть позже, хаотические системы вездесущи: их можно встретить в математике, физике, астрофизике, метеорологии, биологии и медицине. Иными словами, почти все (или даже все) реальные системы обладают хаотической динамикой.

Вы уже увидели, что хаос — это феномен, изучаемый в математической теории динамических систем. Динамическая система — это математическая модель, применяемая в естественных или общественных науках, которая представляет собой уравнение, описывающее изменение состояния системы с течением времени.

Существуют дискретные и непрерывные динамические системы. В дискретных системах время принимает набор фиксированных значений ( t= 0, 1, 2, 3 …). Так, дискретная динамическая система формально задается уравнением в конечных разностях — формулой, которая описывает, как вычислить на основе исходного значения следующее, за ним — следующее, и так далее, до бесконечности. Уравнение в конечных разностях — это уравнение вида