Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

Лоренц опубликовал результаты своего открытия в метеорологическом журнале. Статья называлась «Детерминированный непериодический поток» и осталась практически незамеченной. Хотя Лоренц был метеорологом, он хотел быть математиком, однако эти планы нарушила Вторая мировая война. Математическое открытие Лоренца оказалось неактуальным, и статья пролежала на библиотечных полках почти 10 лет.

Только профессор Джеймс Иорк(род. 1941) из Мэрилендского университета смог распознать научные и философские последствия работы Лоренца: в упомянутой нами статье от 1963 года слились воедино (доказательством чему служит список источников, приведенный Лоренцем) топологические исследования нелинейных систем Пуанкаре, теория динамических систем Биркхофа и (внимание!) традиции советской математической школы, изложенные в книге «Качественная теория дифференциальных уравнений» Немыцкого и Степанова, изданной в Москве в 1949 году и переведенной на английский язык в 1960-м.

Эффект бабочки (чувствительность к начальным условиям) и так называемый эффект карточной колоды, заключающийся в растяжении и складывании траекторий, были сокрыты в гомоклинических сетях Пуанкаре. Оба этих признака хаоса проявились в виде аттрактора Лоренца и подковы Смэйла. Строго говоря, изучение гомоклинических сетей уже натолкнуло Смэйла на мысли о соленоиде и подкове, растяжение и складывание траекторий в которых являются характерными признаками хаоса. Так теория хаоса возродилась.

Если Эдвард Лоренц предложил научному сообществу парадигму непрерывных хаотических динамических систем (систему Лоренца), то Роберт Мэй(род. 1936) , занимавшийся популяционной биологией, в своей статье «Простые математические модели, обладающие сложной динамикой», опубликованной в журнале Nature в 1976 году, описал парадигму дискретных хаотических динамических систем (в них время течет не непрерывно, а скачками). Речь шла о логистическом отображении очень простой функции: f( х) = kx (1 — х). При значениях, близких к 4, эта функция, как это ни парадоксально, демонстрирует удивительно сложную динамику.

В следующей главе на примере этого отображения мы объясним основные понятия, связанные с хаосом.

Термин «хаос» был официально принят за год до публикации Мэя. В 1975 году профессор Иорк впервые использовал этот термин в современной научной литературе, в частности в своей статье «Период, равный трем, означает хаос», написанной в соавторстве с Ли Тянь-Янем. Несколько лет спустя, в 1978–1979 годах, физик Митчелл Фейгенбаум(род. 1944) эвристически (то есть с помощью нестрогих методов, приблизительных подсчетов) обнаружил определенные универсальные постоянные, характеризовавшие переход от периодического движения к хаотическому.

Не следует забывать, что в конце 1970-х — начале 1980-х годов исследования возможностей практического применения теории хаоса начали давать свои плоды не только в компьютерном моделировании. Классическим примером, демонстрирующим важность хаоса при изучении физических явлений, является переход к турбулентности в потоке. Турбулентность — очень важное явление, так как оно рассматривается во многих науках, начиная от гидродинамики и заканчивая метеорологией и климатологией. В классической математике турбулентность начинается с накопления колебаний. В стандартной интерпретации по мере того, как движение воды в реке становится все быстрее, сумма колебаний, по отдельности простых, порождает нестабильность, турбулентность. Проблема заключалась в том, что большинство колебаний при наложении совпадают, и в результате возникает периодическое движение, но не турбулентность. Наконец, в 1971 году математики Давид Рюэль(род. 1935) и Флорис Такенс(1940–2010) решили использовать иной теоретический подход и рассмотрели турбулентность с точки зрения топологии. Тогда и возникла блестящая идея: сочетание колебаний может породить новый объект — странный аттрактор, получивший такое название за форму: он представлял собой множество, отличное от известных на тот момент аттракторов (фокусов и предельных циклов).

Еще одна область применения теории хаоса, важность которой неуклонно повышается, связана с биологией при изучении неравномерности пульса и распространения заболеваний. Еще более многообещающими кажутся исследования в медицине и нейробиологии, в частности в электроэнцефалографии, где выявление хаотических и нехаотических участков (любопытно, что именно нехаотические участки являются аномальными) на энцефалограмме сегодня считается единственным способом раннего диагностирования заболеваний мозга.