Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

* * *

ОПЕРЕЖАЯ ВРЕМЯ

Весьма вероятно, что первой динамической системой, с которой столкнется человек, только начавший изучение теории хаоса, будет логистическое отображение: f( x) = 4 х( 1 — х). Несмотря на кажущуюся простоту, это отображение обладает очень сложной динамикой, которая включает хаотическое поведение. Логистическая функция является решением логистического уравнения, которое впервые описал бельгийский ученый Пьер Франсуа Ферхюльст(1804–1849) . Когда в исследовании роста населения, опубликованном в 1838 году, Ферхюльст ввел логистическое уравнение для моделирования „ _ роста населения и последующей стабилизации его численности, подтверждаемого демографической статистикой, он не мог и представить, что более чем через 100 лет его модель привлечет огромное внимание исследователей и станет классическим примером теории хаоса.

Пьер Франсуа Ферхюльст.

* * *

СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЫ

Большинство странных аттракторов в хаотических системах представляют собой фрактальные множества. Именно фрактальная геометрия, созданная Бенуа Мандельбротом(1924–2010) в 1977 году на основе передовых трудов Пьера Фату и Гастона Жюлиа, опубликованных в 1918 году, считается геометрией природы. Форму фракталов имеет множество природных объектов (морские побережья, листья растений, раковины моллюсков, легкие и другие органы человека, галактики, созвездия и даже кольца Сатурна, сегменты которых напоминают фрактальные множества Кантора), так как самоподобие — основное свойство сложных систем.

* * *

Несмотря на вышесказанное, объективная и не лишенная скепсиса характеристика, приведенная Давидом Рюэлем в книге «Случайность и хаос», полностью корректна:

«Математическая теория дифференцируемых динамических систем выиграла от притока «хаотических» идей и в целом не пострадала от современной тенденции (техническая сложность математики препятствует мошенничеству). Однако физика хаоса, несмотря на частые триумфальные объявления о «новых» прорывах, в настоящее время практически не дает интересных открытий.

Мы не будем излагать искаженное видение хаоса, характерное для некоторых постмодернистов и других мыслителей. Критики утверждают, что высокая популярность теории хаоса и фрактальной геометрии не соответствует их реальной научной ценности. Теория хаоса применяется даже при анализе художественных произведений и в управлении предприятиями.

Нельзя отрицать, что хаос открыл новый путь в науке. Эту новую науку, объединяющую множество дисциплин, математики называют теорией хаоса, или теорией динамических систем, физики — нелинейной динамикой, все остальные — нелинейной наукой. Это наука об эффекте бабочки, о чувствительности к начальным условиям, о случайных, беспорядочных и неправильных траекториях, о непериодическом и нестабильном поведении, о гомоклинических орбитах, о растяжении и складывании траекторий, о странных аттракторах и многом, многом другом. Войдем же в дверь, которую открыла перед нами теория хаоса.

* * *

ХАОС НА ЗЕМЛЕ И НА НЕБЕ

Если Роберт Мэй представил парадигму дискретной хаотической динамической системы в одном измерении (логистическое отображение), то французский астроном Мишель Эно предложил парадигму дискретной хаотической динамической системы в двух измерениях — так называемое отображение Эно. В 1976 году, спустя несколько лет после того, как свет увидела работа Лоренца с описанием модели непрерывной хаотической динамической системы, Эно опубликовал статью «Двухмерное отображение со странным аттрактором», в которой представил преобразование плоскости, определяемое формулой

где аи b— две постоянные, которые обычно принимаются как а = 1,4 и b = 0,3. Это отображение Нпредставляет собой упрощенную версию сечения Пуанкаре для аттрактора Лоренца.

Если мы применим Ннесколько раз подряд к квадрату, то увидим, как он будет менять форму: сначала он будет превращаться во все более вытянутый четырехугольник, затем — в бесконечно запутанную подкову. Эта бесконечно запутанная структура (фрактал), к которой приближаются последовательные итерации Н, и будет странным аттрактором Эно.