Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

( Ibid. 45, p. 13): Invenire duos nuneros quorum summa faciat quadratum et quorum quadrata simul juncta faciant quadratoquadratum.

Istud problema idem plane est cum superiori quo quærebatur triangulum rectangulum cujus hypotenusa et summa laterum sit quadratus, aliasque fuit propositum plerisque doctissimis Mathematicis a Fermatio nostro sine solutione. Utere igitur triangulo primitivo supra invento (num. 25) 169, 119, 120, quod formatur ab 5 et I2, et forma triangulum ab 1N+5 et 12. Latera erunt: 1Q+169+10N, 1Q-119+10N, 24N+120. Igitur hypotenusa, 1Q+169+10N, et summa laterum circa rectum, 1+1Q+34N, æquantur quadrato; due summam istam laterum in 169; ergo productus, 169Q+5746N+169, cum hypotenusa, 1Q+169+10N, æquantur quadratis. Ergo (per ea quæ dicta sunt num. 22) valor radicis est 2048075/20566 et, iuxta positiones, duo numeri a quibus nascetur triangulum quæsitum, 4687298610289, 4565486027761, 1061652293520. Nam et hypotenusa est quadratus et summa laterum, et quadrata laterum æquantur quadrato hypotenusm; proindeque duo latera circa rectum sunt duo numeri quæsiti, turn quia illorum summa quadratus est, turn quia horum quadrata simul junclta faciunt quadratoquadratum…

( Ibid. , 22, p. 7): Iterum sit solvenda aqualitas duplicata: 169Q+5746N+169, et 1Q+10N+169. Tripliciter ista æqualitas solvi potest: Primo accipiendo differentiam terminorum illorum, quæ est 168Q+5736N, et eligendo duos producentes in quorum uno sit 26, duplum videlicet lateris quadrati 169; atque hæc est methodus communis. Secundo, solvi potest revocando diversos quadratorum numeros ad eumdem, quod fieret ducendo singulas particulas numeri posterioris in 169, ut explicatum est num. 4. Tertio, solvetur eadem æqualitas eligendo producentes 14N et 12N+2868/7; ita enim summa radicum erit 26N, duplum lateris quadrati 169Q; atque hæc est methodus Fermatiana quæ dat pro valore radicis 2048075/20566.

La première méthode indiquée par Jacques de Billy donnerait la valeur 769485031/3240054650 la seconde est illusoire, car elle donne pour valeur zero.

Viète ( In artern analyticen Isagoge , cap. I, éd. Schooten, p. 1, I. 23–25): Forma autem Zetesin ineundi ex arte propria est, non iam in numeris suam Logicam exercente, quæ fuit oscitantia veterum Analystarum.

Voir Observation IX.

Имееются в виду положительные целые числа.

Ce fragment est tiré du préambule du Doctrince analyticæ invenitum novum de Jacques de Billy (p. 2), où il suit le passage ci-après:

«Quis ex primitivis radicibus elicuit derivativas, turn primi gradus, turn secundi, turn tertii et sic deinceps in infinitum? nemo plane: uni Fermatio debetur hoc inventum; unus ille hæc omnia non ex alienis cumulavit operibus, quod rhapsodi quidam facere consueverunt, sed proprio marte cudit et ex suis ipse fontibus hausit: hoc ille quum mihi amicissime communicasset per literas, judicavi dignissimum quod typis mandaretur, et ne ab ejus mente ullatenus recedam, exscribendum mihi videtur in primis compendium quoddam totius methodi, cui nomen debit Appendicis ad dissertationem Claudij Gasparis Bacheti de duplicatis apud Diophantum æqualitatibus . En ipsissima illius verba.»

Pages 332–333 de l’édition de Samuel Fermat. «Sextus modus est quando propositi numeri diversimode componuntur ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, …

Primo ergo accidit utrumque propositorum numerorum componi ex tribus speciebus supra dictis et eorum intervallum unica tantum constare specie…

Secundo accidit utrumque propositorum numerorum ex duabus componi speciebus, alterum scilicet ex Quadratis et Unitatibus, alterum ex Numeris et Unitatibus, intervallum autem illorum constare ex Quadratis et Numeris…

Tertio accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum ex Quadratis et Numeris…

Quarto accidit alterurn propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum ex Quadratis et Unitatibus…

Quinto denique accidit alterum propositorum numerorum componi ex Quadratis, Numeris et Unitatibus, alterum vero ex Numeris et Unitatibus…»

Billy ajoute: «Hactenus Fermatius». Les différences, pour cet alinéa, entre le texte de l’ Observatio publié par Samuel Fermat (S) et le texte de l’ Inventum novum (B) sont les suivantes:

P. 337, I. 12 notâ defectûs insignitur S habet notam defectûs B; 13. intelligitur S deprehenditur B; 14, ut loquitur Vieta S ut verbis Vietæ utar B.

Fermat a voulu généraliser, pour les différentes sortes de nombres polygones, la notion de cube (produit par n du carré de côté n ), et il a appelé colonne le produit par n du polygone de côté n . Cette expression technique, qu’il semble avoir forgée lui-même est généralement restée incomprise.

Приводится по изданию Œuvres de Fermat. Tome I. Paris, 1891, pp. 373-379 с комментариями и сохранением пунктуации.

P. 46 à 48: Viro D. de Pellison S. Fermat S. P. D. ( App ., p. 373 suiv.).

Comme reproduction de l’édition de Bachet, celle de Samuel Fermat est passablement fautive; l’intérêt qu’elle offre provient donc essentiellement des annotations que Pierre Fermat avait inscrites sur les marges d’un exemplaire aujourd’hui perdu du Diophante de Bachet, annotations que son fils a reproduites à leur place, en caractères italiques et chacune sous le titre: OBSERVATIO D. P. F., la seconde seule sous celui: OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT.

Les mots vel parentis mei conjecture sont omis dans le Diophante de 1670.

Le texte de Boulliau porte τὰ δὲ.

Les mots καὶ στοιχειώδεις sont omis dans les Varia .

Les Varia omettent etc.

La leçon διαιρεταὶ est également indiquée en marge, par Boulliau, pour διαιρετοὶ dans le premier passage.

Le texte grec de Manuel Bryenne n’a été publié que par Wallis, dans le Tome III de ses Œuvres (Oxford, 1699). Samuel de Fermat cite donc cet auteur d’après un manuscrit, que M. H. Omont a retrouvé à la Bibliothèque Nationale. Il contient, de la main de Fermat, des annotations critiques que nous publions comme dernière pièce de cet appendice.

Boulliau traduit comme suit le second passage grec donné plus haut: intervalla vero sonis [ constant ] , quæ voces rursum sunt primæ, vim dividendi habentes, et elementares.

Antiquæ musicæ auctores septem , ed. Meibomius (Amsterdam, 1652), 1, page 24.

Antiquæ musicæ auctores septem , ed. Meibomius, II, page 33.

Dans son édition Theonis Smyrnæi Expositio rerum mathematicarum , Teubner, 1878, Ed. Hiller n’a pas adopté cette correction, comme il a fait pour les précédentes; et, en effet, Théon continue à citer ici le péripatéticien Adraste. L’erreur de Fermat a été au reste occasionnée par Boulliau, qui a traduit aiunt.

Hiller lit ἠρεμίας qui est moins bon.

κατὰ Samuel . Mais Boulliau donne καθὰ, qui n’a nullement besoin d’etre corrigé en καθὸ. Samuel a dû faire quelque méprise. — Hiller suit, dans ce passage, la leçon de Fermat, en supprimant le dernier mot ἀποτελοῦν, qui est surabondant.