Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

( x 2+ 1/ x 2) y , ( x 2+ 1/ x 2) y , 2 y

le triangle cherché, on devra rendre carré ( x 2+ 1/ x 2) y 2+ a . En égalant cette expression à ( x 2+ 2 m 2 a / x 2) y 2, on arrive à tirer rationnellement, en fonction d’arbitraires m et n ,

x=(a (4 a 2 m 4+ 1) — n 2)/4 amn et y = ax /(2 max+n ).

DIOPHANTE. VI, 4: Invenire triangulum rectangulum ut areæ numerus multatuts dato numero faciat quadratutm.

DIOPHANTE, VI, 5: Invenire triangulun rectangulum ut numerus areæ detractus a dato numero faciat quadratnum.

La méthode de Diophante, pour ces deux problèmes, est analogue à celle qu’il a suivie pour VI, 3.

De fait, ces nombres reviennent à ceux de Viète. Comparez au reste JACQUES DE BILLY ( Doctrinae analyticæ inventum novun , 1, 37, p. 10):

«Vieta, L. V Zetet. 9, infeliciter solvit quæstionem tertiam libri sexti Diophanti; quum enim iste proponat invenire triangulum rectangulum cujus area assumens datum numerum faciat quadratum, coarctavit Vieta quæstionem ad datum numerum ex duobus quadratis compositum. At Fermatius innumeris modis solvit problema de dato quocumque numero: si enim detur 3, numeri sequentes exhibent triangulum quæsitum:

1441889/ 416160, 1397825/ 416160, 34/ 40.»

При своем решении Виет предполагал, что заданное число является суммою двух квадратов (как, например, число 5). Такое предположение, как показывает Ферма, излишне.

Soit a le nombre donné; la solution de Diophante revient à prendre, pour le triangle,

( a 2+ 1)/( a + 1), a — 1, (2 a + 1)/( a + 1)

L’aire, plus le dernier côté, est identiquement a .

La solution de Fermat est précisément la même; seulement il la pose directement, au lieu de suivre les longs détours de Diophante, qui masquent la construction effective du triangle.

Как заметил ещё П. Таннери, решение Ферма в точности совпадает с тем, которое дал Диофант.

Cette solution est encore, de fait, la même que celle de Diophante, comme pour le problème précédent.

Il faut entendre ici à la fois les problèmes VI, 6 et 7 de Diophante.

VI, 8: Invenire triangulum rectanlium ut area, adsumens utrumque laterum circa rectum, faciat datum numerum.

VI, 9: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ, multatus summa laterum circa rectum, faciat datum nuzmerum.

VI, 10: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ nulmrus, adsumens summam hypotenusæ et alterius laterum circa rectum, faciat datum numerum.

VI, 11: Invenire triangulum rectanlium ut numerus areæ, multatus summa hypotenusæ et alterius laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Pour tous ces problèmes, comme pour les deux précédents, Diophante arrive à une double équation , dont son procédé ne tire qu’une solution unique.

Voir les Observations XXXVII, XXXVIII, XL, XLI.

Dans son commentaire sur VI, 11, Bachet avait traité la question:

Invenire triangulum rectanlium ut area, detracta hypotenusa, faciat datum numerum.

Баше в своем комментарии к VI 11рассмотрел задачу: «Найти прямоугольный треугольник такой, что его площадь, увеличенная (уменьшенная) на гипотенузу, составляет заданное число».

Cette condition est empruntée au texte latin du problème. Le procédé de Diophante revient en effet à prendre comme triangle cherché: az, bz, cz ; puis à poser (supposant b>c ) z = b /( x 2— bc /2). Il arrive ainsi à avoir à rendre carré

bcx 2+ b ( b-c ) bc /2 = y 2.

Or, si le triangle ( a, b, c ) est tel que

bc + b ( b-c ) bc /2 = p 2,

Diophante sait construire une infinité de valeurs de x = ( q 2— 2 pq + bc )/( q 2 — bc ) done de z . Mais tous les triangles ainsi obtenus sent semblables; Fermat cherche done à déterminer un autre triangle ( a, b, c ) que celui trouvé par Diophante (5, 4, 3).

D’après cette méthode (p. 321), si l’on a une solution x 1, y 1de l’équation indéterminée

x 2+ a = y 3

et que l’on pose

x = x 1— z, y = y 1- 2 x 1/3 y 1 2

on peut tirer z rationnel:

z = (36 x 1 2— 27 y 1 3)/8 x 1 3

Заметим, что уравнение X 2+ 2 = Y 3 имеет бесконечно много рациональных решений, которые могут быть найдены методом касательной Диофанта (см. комментарий к VI 24). Теорема, сформулированная Ферма, относительно целочисленных решений этого уравнения, была впервые доказана Эйлером (Èlémens d’algèbre, t. II, § 192, 1796).

D’après les procédés de Diophante, cette solution s’obtient comme suit:

Soit la double équation

ax 2+bx + c 2=u 2, a'x 2+b'x + c 2=v 2,

on en conclut

( a-a' ) x 2 +( b-b' ) x = u 2 - v 2 .

On satisfera à cette relation en posant

2 cx ( a-a' )+2 c=u+v, 2 cx ( b-b' ) =u-v .

De ces deux équations on tirera la valeur de u ou de v , et, en substituant dans une des deux premières, on obtiendra pour x une valeur rationnelle déterminée.

Voir Observation XXIII. Fermat renvoie d’ailleurs à la présente Observation XLIII dans les suivantes: VI, XVI, XXII, XXXI.

В нашем издании это вторая лемма к задаче V 7.

BILLY ( Doctrinæ analyticæ inventum novum , I, 25, p. 7): Quæratur, verbi gratia, triangulum rectangulum cujus tam hypotenusa quam summa laterum circa rectum sit numerus quadratus. Formetur triangulum ab obviis numeris 1N+1 et 1N; ergo tria latera erunt: 2Q+1+2N, 1+2N, 2N+2Q. Igitur hypotenusa, 2Q+1+2N, et summa laterum circa rectum, 2Q+1+4N, æquantur quadrato, et fit, per methodum conmmunem, valor radicis -12/7, unde duo numeri, a quibus formatum est triangulum, erunt -5/7 et -12/7, seu in integris, accipiendo solos numeratores -5, -12. Triangulum autem inde formatum est: 169, 119, 120. Unde infero ad solutionem problematis inveniendum esse aliquod triangulum rectangulum cuius hypotenusa sit quadratus, et differentia laterum circa rectum sit quadratus, atque hæc conclusio elicitur vi analyseos priecedentis; istud autem triangulum est 169, 119, 120, quod formatur vel ab -5 et -12, vel a +5 et +12. Quare itero operationem et formo triangulum quæsitum ab 1N+5 et 12, et pervenio tandem ad æqualitatem duplicatam quæ non dabit amplius numeros fictos, sed veros, beneficio trianguli illius primitivi, ut distinctius videbitur infra num. 45…