Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

2 (m − 1 )= 1/ 2 m 2;

d’où

m =2 et x 2= 1/ 2 x , avec x 2=2 x +4,

et enfin

x 1 x 2 x 3+x 3=x 2+ 5/ 2 x ,

expression qu’il est facile de rendre carrée. Il est aisé de voir que la solution de Fermat est au fond la même; car on la retrouve, si l’on change x en N — 2.

L’emploi de la double équation était indiqué par Bachet, d’apres la marche suivie par Diophante lui-même dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que chacun des nombres cherchés doit être non pas ajouté, mais retranché du produit des trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. Ici Bachet posait de fait

x 1= x, x 2=1, x 3= x −1,

et il ramenait le problème à la double équation

x 2− x +1=α 2, x 2−1=β 2.

Под леммой Диофанта Ферма понимает условие, при котором x 2+ 2α x нацело делится на 2α 2(β — α) x + α 2β 2.

Двойное равенство было применено Диофантом при решении следующей задачи (IV 23). Но Баше указал, что и задача IV 22может быть сведена к двойному равенству.

Ce problème, comme le remarque Bachet, se ramène facilement à décomposer un nombre donné en quatre carrés, quæstion que Diophante n’a soumise a aucune règle, mais qu’il semble considerer comme toujours possible. Bachet affirme qu’en effet tout nombre entier doit être ou carré ou somme de 2, 3, ou 4 carrés entiers; il n’en a pas la démonstration, mais il s’en réfère à l’induction, donne le Tableau de la composition pour tous les nombres de 1 à 120, et ajoute qu’il a poussé l’expérience jusqu’à 325.

La solution de Fermat, fondée sur une identité facile à reconnaître, est essentiellement différente de celle de Diophante.

La solution de Diophante, avec les généralisations de Bachet, peut se représenter comme suit.

Soient x 1, x 2, x 3les trois nombres cherchés. Posons

x 1+ x 2+ x 3= x 2

et

x 1=α(α+1)/2 x 2, x 2=β 2/ x 2, x 2=γ 2/ x 2,

il vient

x 4=α(α+1)/2 + β 2+ γ 2.

Posons maintenant

β= x 2- z 2,

on

α(α+1)/2 + 2 z 2 x 2— z 4— γ 3,

d’où l’on posera

(2α+1) 2ou 16 z 2 x 2— 8 z 4— 8γ 3+ 1 = (4zx — δ) 2

et

x = (8 z 4 + 8γ 3 + δ 2— 1)/8 z δ.

Mais il faut que α soit entier et, par conséquent, que (8 z 4 + 8γ 3— (δ + 1) 2)/δ le soit.

Si l’on prend δ=1, comme l’a fait Diophante, et comme Bachet l’a cru nécessaire, on peut prendre tout à fait arbitrairement les entiers z et γ.

Fermat prend z =1, comme l’avait fait Diophante; il fait d’ailleurs, dans l’exemple qu’il choisit,

γ=7, δ=3.

Ферма принимает V = 7, тогда 2 x 2— 1 — V 3= 2 x 2— 344, а 16 x 2— 8 V 3— 7 = 16 x 2— 2751.

Page 110. — Soient x 1 , x 2 , x 3 , x 4les quatre nombres cherchés, et a le nombre donné.

La solution de Bachet revient à poser

x 1 = ( u 2 -a )/( v-u ), x 2 = ( v 2- a )/( v-u ), x 3 = ( x 1+ x 2)-( v-u )

ce qui satisfait aux conditions pour trois nombres. Si, pour le quatrième, on pose

x 4 =v-u ,

on n’aura evidemment qu’a satisfaire en outre à la condition bien facile que

x 3 x 4+ a ou ( v+u ) 2-3 a

soit un carré indeterminé.

Bachet l’a résolue, en fait, de deux fagons différentes: 1° par rapport à c-v , en se donnant u ; 2° par rapport à u , en se donnant v-u , qu’il suppose inutilement devoir être un carré.

Dans l’Observation XVI, Fermat a donné une solution pour le cas où le nombre à ajouter est l’unité.

J. de Billy ( Doctrinae analyticae inventum novumn , I, 38, p. 11): «Diophantus L. V, q. 8 tradit artem inveniendi tria triangula rectangula quæ sint æqualia quoad aream. Qui vero plura ab ipso expetet, nunquam obtinebit; præterea nunquam tradidit Diophantus methodum inveniendi triangulum dato triangulo æquale quoad aream. Fermatius utrumque mox atque eàdem operatione præstabit.»

«Sit verbi gratia inveniendum triangulum cujus area sit 6, qualis est area trianguli rectanguli 3. 4. 5.»

«Esto unum latus cujuspiam trianguli rectanguli 3, et aliud latus sit 1N+4. Horum quadrata simul sumpta exhibent

25+1Q+8N

pro quadrato hypotenusæ: quare iste numerus æquatur quadrato.»

«Deinde area istius trianguli, 3/ 2N+6, debet esse sextupla alicujus quadrati (quia postulatur areamn esse 6): ergo ejus areæ sextans quadratus est, ac proinde ille ductus in 36 efficiet quadratum. Efficit autem

9N+36:

igitur hic numerus æquandus est quadrato.»

«En igitur duos terminos duplicatæ æqualitatis:

9N-36 et 25-1Q+8N.

In his autem unitatum numerus quadratus est: ergo valor radicis facile reperietur, eritque

— 60530400/ 21650409

ac proinde

1N+4 erit 2896804/ 2405601.

Aliud autem latus circa rectum est 3. Igitur horum quadrata simul sumpta faciunt quadratum cujus latus

7776485/ 2405600

erit hypotenusa. Ergo habes triangulum rectangulum

7776485/ 2405601. 2896804/ 2405601. 3,

cujus area est sextupla cujuspiam quadrati, nempe

724201/ 2405601;

cujus area est 6.»

«Adverte nos invenisse hoc triangulum per illud quod datum fait 3.4.5, ac per inventum inveniri posse tertium; per tertium invenietur quartum, et sic sic in infinitum.»

То есть на числах Z 2и 2 BD . Полученные стороны делятся на 2 ZB 2— 2 ZD 2

La question V; 9 de Diophante se résout en effet par une application immédiate de la solution du problème précédent.

Soient a 1, a 2, …, a n , les hypotenuses de n triangles rectangles ayant une même aire A, comme

a p 2±4A est carré,

les nombres

( a p Σ 1 na n )/4A

satisferont a la question posée par Fermat.

Le texte grec correspondant à ce passage incompréhensible de la version latine est le suivant dans l’édition de Bachet (leçon du manuscrit fonds grec n° 2379 de la Bibliotheque Nationale):

μήτε ό διπλασίων αύτοΰ Υ μ οα. μείζονα έχη μέρος δ. ή μετρεϊται ύπό τοΰ α ου. ς ου,

et, d’après Bachet, dans un Vaticanus s græcus (probablement le n° 304):

μήτε ό διπλασίων αύτοΰ άριθμόν μονάδα α. μείζονα έχή μέρος τέταρτον, ή μετρεϊται ύπό τοΰ πρώτου άριθμοΰ.