Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

Sed ab istorum juvenum voluptate oculos avertamus, et eam quæ ex studiorum societate percipitur, puriorem et diuturniorem, summum que adversorum solatium litteras esse fateamur; cum tu his mirum in modum oblecteris, non iniucundas tibi fore confido observationes in quibus amici manum agnosces; ipsius ego lucubrationum sparsas varijs in locis reliquias è tenebris quibus abditæ janpridem erant [98], eruere conatus sum, neque hæc contemnenda duxi, ut ex hoc spicilegio rerum quæ diligentissimos [99], ut ita loquar, messores latuerunt, pateat, quantam earum auctor in liberiori et conjecturis aperto critices campo segetem fuerit collecturus, si sæpius in illo spatiari voluisset: Vale et me ama.

Voir ci-après l’observation IX.

Dioph., p. 216: «Invenire tres quadratos, ut quem bini faciunt planum, sive adsciscat amborum summam, sive reliquum, faciat quadratum.»

Ce renvoi, indiqué par Samuel Fermat, n’est pas exact; l’observation de Fermat porte surtout sur la fin du commentaire de Bachet, à partir de «Cæterum animadversione quoque dignum est, etc. (p. 127, l. 7)». En fait, le problème de Diophante consiste à trouver quatre nombres tels que la somme de leurs carrés, augmentée ou diminuée de chacun de ces nombres, fasse toujours un carré. Dans son commentaire, Bachet remarque:

1º Comment Diophante ramène ce problème à celui de trouver quatre triangles rectangles en nombres ayant une même hypoténuse;

2º Comment ce nouveau problème se résout en nombres entiers par le choix de deux triangles rectangles non semblables, et en multipliant les côtés de chacun d’eux par l’hypotenuse de l’autre.

C’est-à-dire que si l’on a

a 2+ b 2= c 2 et a 1 2+ b 1 2= c 1 2

on aura

cc 1 2= ac 1 2+ bc 1 2= a 1 c 2+ b 1 c 2

3º Si d’ailleurs les hypoténuses sont, chacune respectivement, somme de deux carrés, leur produit peut être décomposé en deux carrés de deux manières differentes.

Si l’on a

c =α 2+β 2et c 1=α 1 2+β 1 2,

on aura

cc 1=(α 2+β 2)(α 1 2+β 1 2)=(αα 1+ββ 1) 2+(αβ 1−α 1β) 2=(αα 1−ββ 1) 2+(αβ 1+ α 1 β )

Bachet ajoute que, toutefois, les deux carrés composant chaque hypoténuse doivent être inégaux, et qu’il ne doit pas y avoir de proportion entre les quatre.

4º Comme maintenant, si un nombre est décomposé en deux carrés (soit p 2et q 2), on en déduit qu’il est l’hypoténuse d’un triangle rectangle en nombres, car

( p 2+ q 2) 2=( p 2− q 2) 2+(2 pq ) 2,

on aura ainsi le moyen de construire deux nouveaux triangles rectangles ayant cc 1pour hypoténuse, et le problème sera résolu, sous la reserve que les opérations ne seront pas illusoires, comme cela arriverait si, dans la double décomposition (2), on tombait sur une somme de deux carrés égaux; on doit en conséquence exclure le cas où α 1/β 1=(α+β)/(α-β).

5º Bachet indique les corrections qu’il a apportées au texte grec.

6º Il montre comment le procédé de Diophante peut être généralisé, en prenant deux nombres sommes de deux plans semblables; le produit de ces nombres peut en effet, s’il n’y a pas proportion entre les composants, être divisé en deux carrés de quatre manières différentes.

Enfin, il soulève la quæstion que Fermat a complètement résolue dans son observation, à savoir de trouver un nombre décomposable en deux carrés de tant de manières que l’on voudra. Si, dit-il, on multiplie un nombre qui est 1 fois seulement somme de deux carrés par un nombre jouissant de la même propriété, le produit sera somme de deux carrés 2 fois seulement. Un tel nombre, multiplié par un autre décomposable 1 seule fois, donnera un produit décomposable 3 ou 4 fois seulement (3 fois si le multiplicateur a un facteur commun avec le multiplicande, 4 fois dans le cas contraire). Un nonmbre décomposable 3 fois seulement, multiplie par un qui ne l’est que 1 fois seulement, donnera (en excluant le cas de facteurs communs) un produit décomposable 6 fois seulement.

On peut continuer ainsi indéfiniment: Un nombre décomposable 4 fois et un qui l’est 1 fois, ou bien deux décomposables 2 fois seulement donneront un produit 8 fois décomposable. Un nombre 6 fois décomposable par un 2 fois décomposable donnera un produit 24 fois décomposable. Bachet donne des exemples sans démonstration.

Lisez «quaternarii multiplicem».

Lisez «quaternarii multiplicem».

Ex his facile potest inveniri minimus numerus qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis.

Dans l’édition de Samuel Fermat, le texte de cet alinéa se trouve après celui des trois suivants.

Lisez «quaternarii multiplicem».

Утверждение Ферма о том, что каждое простое число вида 4 n + 1 представимо суммою двух квадратов и притом единственным образом, было впервые доказано Эйлером (Novi Commentarii, 1754—1755). Эта теорема играет большую роль в теории чисел. Она получила название первого дополнения к закону взаимности.

Viète avait déjà traité comme Bachet les trois quæstions sur lesquelles portent cette observation de Fermat et la suivante. Voir Zetetic. IV, 18, 19, 20 (pages 74–75 de l’édition de Schooten).

Voir l’observation suivante.

Voir Observation XII. Soit à résoudre

( x 3+ y 3)/( x + y )= a

le procédé de Bachet revient à éliminer y en posant x + y = z . On a alors

3 x 2-3 xz + z 2= a

équation qui se traite facilement par les méthodes de Diophante, si a est carre ou triple d’un carré.

Diophante (V, 3) a donné une solution de ce problème dans le cas général où le nombre à ajouter (ici l’unité) est quelconque.

La solution ἐν ἀορίστῳ de Diophante peut être représentée par les trois nombres

m 2N + 2 m , N, ( m +1) 2N +2 ( m +1).

Fermat donne de ce problème une solution différente de celle de Diophante.

Soient x 1, x 2, x 3les trois nombres cherchés. La solution de Diophante revient à poser

x 1 = 1 , x 1 x 2 x 3 =x 2 + 2 x, x 1 x 2 x 3 +x 2 =(x+m) 2;

d’où

x 2= 2 (m− 1 )x+m 2et (x 2 + 2 x)/( 2 (m− 1 )x+m 2 )

Il reste ainsi à satisfaire à une dernière condition, à savoir que x 1 x 2 x 3+ x 3soit carré. Le lemme employé par Diophante consiste de fait à déterminer m en sorte que x 3soit linéaire en x , c’est-à-dire à satisfaire à la relation