Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

9. Там же.

10. Н. Винер. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине. Второе издание. М., 1968, с. 57.

11. Н. Винер. Кибернетика и общество. М., 1958, с. 32—33.

12. И.Слешинский. Логическая машина.— «Вестник опытной физики и элементарной математики». Одесса, 1893, № 175 (7).

13. Цитируется по статье: А. И. Берг. Кибернетика и общественные науки.— В кн.: Методологические проблемы науки. Материалы заседания Президиума Академии наук СССР. М., 1964, с. 260. О машине Джевонса в России, усовершенствованной известными физико-химиками П. Д. Хрущевым и А. Н. Щукаревым, см.: В. А. Велигжанин, Г.Н. Поваров. К истории создания логических машин в России.-«Вопросы философии», 1971, № 3.

14. Ст. Джевонс. Основы науки. Трактат о логике и научном методе. Спб, 1881, с. 2. В этой книге читатель найдет подробное и очень доступное изложение алгебры логики Джевонса — теории, в которой впервые в логике фактически присутствовало то, что ныне называется булевой алгеброй (см. следующую главу). В нашем изложении мы несколько изменили символику Джевонса, приблизив ее к современной. Примеры, которыми мы оперируем, принадлежат Джевонсу.

15. Операция пересечения двух произвольных классов (множеств) — это операция, порождающая такой класс — его обычно обозначают А ∩ В или просто AВ, как в нашей записи, который состоит из элементов, входящих как в класс A, так и в класс В. В дальнейшем будут использоваться также понятия объединения двух классов и дополнения к классу. Операцией объединения произвольных классов A и В называется операция, порождающая такой класс (он обозначается через A ∪ В), который состоит из элементов, входящих хотя бы в один из классов: в A или в В.

Операция взятия дополнения к произвольному классу A (до некоторого объемлющего универсального класса, или универсума, V) есть операция, порождающая класс, состоящий из всех тех и только тех) элементов универсума, которые не входят в класс А; дополнение к А обозначается через A' или -A. Заметим, что операции пересечения и объединения классов обладают свойством коммутативности (перестановочности, симметричности), то есть А ∩ В = В ∪ А, А ∪ В = В ∩ А (это свойство используется ниже в примере 3).

16. Действительно, по закону исключенного третьего:

A = AB ∪ AB' = ABC ∪ ABC' ∪ AB'C ∪ AB'C', A' = A'B ∪ A'B' = А'ВС ∪ А'ВС' ∪ AВ'С ∪ А'В'С' но, как очевидно, A ∪ A' = V.

1. G. Вооlе. The Mathematical Analysis of Logic. Cambridge and London, 1847; G. Вооlе. An Investigation of the Laws of Thought. London, 1854.

2. Е. Т. Веll. Men of Mathematics. New York. 1962, p. 433. О своеобразии английской математики того времени, объясняющем тот факт, что математическая логика возникла в Англии, см.: Б. В. Бирюков, А. А. Коноплянки н. Развитие логико-математических идей как элемент исторической подготовки кибернетики (на примере развития английской науки в 19 и начале 20 вв.).— «Вестник истории мировой культуры», 1961, № 6 (30).

3. Формулы вида (а & β) и (а V β) мы будем называть соответственно конъюнктивной и дизъюнктивной формулами (или формами, когда появится понятие формы), иногда же просто «конъюнкциями» и «дизъюнкциями».

4. Метазнак (греч. «мета» — за, после) — знак, обозначающий знак или конструкцию из знаков данного алфавита и не принадлежащий к этому алфавиту. В данном случае метазнаки обозначают произвольные формулы.

5. Строгое определение цепочки равенств выглядит следующим образом: а) каждое равенство есть (одночленная) цепочка равенств;

б) если Х — цепочка равенств, в которой последней формулой справа является формула φ и φ=χ;, то Х=χ — тоже цепочка равенств:

в) Других цепочек равенств, кроме устанавливаемых на основе пп. а) и б), не имеется.

6. Этот список постулатов основан на перечне равносильностей алгебры высказываний, приведенных в кн.: П. С. Новиков. Элементы математической логики. М.» 1973. с. 42.

7. Название связано с тем, что в математической логике законы 9 и 10 впервые сформулировал Де Морган. Однако соответствующие правила были известны уже средневековым логикам.

8. Вместо этого «общего» правила замены равным в число постулатов можно было бы ввести более «конкретное» правило: если а = β то (γ & а) = (γ & β). (а & γ) = (β & γ); (γ V а) = (γ V β), (а V γ)-(β V γ)» ~а= ~β. «Общее» правило замены равным оказывается в этом случае производным правилом: его можно обосновать с помощью «конкретного» правила замены равным.