Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Попробуем проследить идейные основы концепции идеальных элементов» Гильберта.

Воспитанный в немецком университете профессорами, целиком принадлежавшими к поколению, считавшему теоретико-множественное мышление идеалом строгости, он и сам впитал смолоду этот образ мышления. Канторовская теория множеств рисовалась ему одним из величайших завоеваний человеческого гения. «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал нам Кантор», сказал Гильберт [14], осуждая попытки Брауэра я его учеников «развалить» математику.

Но Гильберт уже не верил в существование в каком-то «царстве идей» множеств множеств множеств. Гильберт просто считал, что такие понятия полезны для математики, в могуществе которой был глубоко убежден. В конце вступительной части своего исторического доклада о проблемах математической науки он произнес вдохновенные слова: «мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует Ignorabimus» [15]. Это был прямой вызов агностическим установкам в науке, так как выражение ignorabimus—«мы не будем знать» (лат.) было сказано физиологом Э. Дюбуа-Реймоном о некоторых нерешенных проблемах (касающихся взаимоотношения физиологического и психического).

Новаторство Гильберта проявилось как в том, что он объявил теоретико-множественные построения лишь вспомогательными элементами науки, так и в подробно развитом им подходе к основаниям математики, получившем название гильбертовского формализма и финитизма. Познакомимся с основным тезисом гильбертовского формализма из уст его автора.

Гильберт считал, что в качестве предварительного условия для осуществления логических умозаключений и выполнения логических операций в человеческом представлена уже должны быть даны определенные внелогические конкретные объекты — даны наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления. «Для того чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью во всех частях; их показания, их отличие, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно наглядно, одновременно с самими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении. Это — та основная философская установка, которую я считаю обязательной как для математики, так и вообще для всякого научного мышления, понимания и общения и без которой совершенно невозможна умственная деятельность. В частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых... непосредственно ясен и может быть впоследствии узнаваем» [16].

Если глубоко вдуматься в это программное заявление, мы увидим, что перед нами, несомненно, плодотворный тезис. По существу, Гильберт утверждает здесь, что мышление, научная работа нуждаются в системе знаков, на которые могут опереться логические рассуждения. Знаки — внелогическая категория, утверждает Гильберт. В самом деле, ведь это материальные объекты, состоящие из засохшей типографской краски, из микроскопических ракушек, образующих мел, и т. п.

Они могут отображаться в представлении, в сознании, но в этом случае они выступают в качестве образов тех же материальных объектов. Для научного мышления представляют ценность не любые знаки, а такие, которые человек может уверенно отличать друг от друга или, наоборот, отождествлять друг с другом — только в этом случае их можно использовать для построения теории.

По поводу формализма Гильберта возникало немало недоразумений и неправильных его трактовок, поэтому мы дадим слово великому математику еще раз. Главное обвинение, которое бросали Гильберту в то время, состояло в том, что он будто бы превращает математику в пустую игру символов и тем самым исключает ее из факторов человеческой культуры. Вот что он отвечал по этому поводу:

«Эта игра формул допускает, что все содержание идей математической науки можно единообразно выразить и развить таким образом, чтобы вместе с тем соотношения и отдельные теоремы были понятны. Выставить общее требование, согласно которому отдельные формулы сами по себе должны быть изъяснимы, отнюдь не разумно; напротив, сущности теории соответствует, что при ее развитии нет необходимости, между прочим, возвращаться к наглядности или значимости. Физик как раз требует от теории, чтобы частные теоремы были выведены из законов природы или гипотез с помощью одних только умозаключений, не вводя при этом дальнейших условий, то есть. на основании чистой игры формул. Только известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть контролируема опытом, подобно тому как в моей теории доказательства только реальные высказывания могут быть непосредственно проверяемы» [17].