Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Как мы видим, если практические выводы в отношении построения математики более или менее четки (отбрасывание логицизма, ограничение логического принципа исключенного третьего, требование конструктивности доказательств существования), то учение о «глубинной интуиции» разума остается сугубо неясным. Самое большее, что мы можем сделать, чтобы пролить свет на этот пункт, это привести «разъяснения» самого Брауэра, сделанные им (без особой надежды на понимание аудитории) на Международном конгрессе по философии, состоявшемся в Амстердаме в августе 1948 года [5].

«Прежде всего мы должны уяснить все фазы сознания, совершающего переход от своих глубин к внешнему миру, в котором мы сотрудничаем и ищем взаимопонимания. Данное мое выступление вовсе не рассчитано на непременное наличие такого взаимопонимания, и, в некотором смысле, его можно рассматривать как монолог...

Сознание в своем глубинном убежище, как можно думать, медленно и пассивно совершает колебания между состояниями покоя и чувствования. По-видимому. лишь в состоянии чувствования становится возможным первый акт упомянутого перехода. Этим актом является движение времени. С помощью движения времени имеющееся в данный момент чувствование переходит в чувствование в другой момент, так что сознание сохраняет первое как имевшееся в прошлом; более того, благодаря различению настоящего и прошедшего, сознание отходит от них обоих, выходит из пассивного состояния, и так возникает мышление.

В форме мышления сознание выступает как субъект, переживающий чувствование в настоящем — так же как и прошедшее чувствование — в качестве объекта. А путем повторения этого процесса удвоения объект может быть расширен до всего множественного и пестрого мира чувствований.

...Математика возникает в тот момент, когда субъект лишает это порождаемое движением времени удвоение всех качеств и когда остающаяся пустая форма общего субстрата всякого удвоения подвергается, в качестве глубинней математической интуиции, неограниченному раскрытию, порождая новые математические сущности в форме предопределенных или более или менее свободно формирующихся бесконечных последовательностей полученных прежде математических сущностей, и в форме математических видов, то есть свойств, которые мы предполагали присущими прежде полученным математическим сущностям и удовлетворяющим тому условию, что если они присущи определенной математической сущности, то они присущи и всем другим одинаковым с ней сущностям».

Обратим внимание на три важных вывода, следующих из аутентичного изложения платформы интуиционистской математики, которое мы только что привели. Во-первых, интуиция, о которой все время идет речь у Брауэра и его последователей, является интуицией разума, и ничего общего не имеет с мистической интуицией чувства, которая фигурирует у философов типа Ф.В. Шеллинга, К. Ясперса, Ж.П. Сартра и т. д.; математический интуиционизм есть нечто не похожее на философский интуитивизм. Он более родствен рационалистическому «интуиционизму» Декарта, выраженному, скажем, в следующих словах последнего:

«Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим» [6]. Во-вторых, из слов Брауэра можно определенно заключить, что «глубинная интуиция» разума, порождающая математику, одинакова у всех людей; поэтому математика в этом смысле объективна, не произвольна. В-третьих, интуиция разума не зависит от языка; языковые средства нужны лишь для того, чтобы (не адекватно) сообщать результаты деятельности интуиции другим людям.

Анализируя эти установки Брауэра, нетрудно обнаружить их несоответствие с известными науке фактами. Данные современной психологии все увереннее говорят о том, что осознанного результата мыслительного акта не существует вне языка или, во всяком случае, вне какой-то знаковой системы. Принятие же одинаковости изначальной интуиции разума у всех людей очень напоминает утверждение Канта о неизбежности восприятия мира людьми через априорную категорию времени — утверждение, расходящееся с результатами психологических исследований поведения детей, в частности, исследования Ж. Пиаже и его школы [7].

Отечественное конструктивное направление, продолжающее критическую линию интуиционизма в отношении классической математики, отвергает философскую концепцию Брауэра. На место «интуиции» конструктивисты выдвигают понятие умственного построения, проясняемое с помощью понятия алгоритма (см. гл. 7). При этом, как указывает создатель отечественной школы конструктивной математики А. А. Марков, «умственные построения, такие, например, как построения все больших и больших натуральных чисел, обычно являются слепками с построений материальных, осуществляемых в окружающей нас действительности» [8].