Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

С уважением Бертран Рассел

В словах Рассела о втором томе книги Фреге не было, конечно, никакой иронии. Но была ирония судьбы, ибо этот том вот-вот должен был выйти в свет, когда Фреге получил письмо Рассела. Проявив редкую научную добросовестность и мужество, Фреге включил в книгу вышедшую в 1903 году, следующие слова:

«Вряд ли существует что-нибудь более нежелательное для ученого, чем после окончания работы увидеть, как рушатся ее основы. Именно в такое положение поставило меня письмо г-на Бертрана Рассела, полученное мной, когда книга была уже в печати» [28].

Как пишет американский логик X. Карри в своей книге «Основания математической логики», последствия письма Рассела были для Фреге трагическими. «Хотя ему тогда было всего пятьдесят пять лет и он прожил после этого более двадцати лет, он больше не опубликовал ни одной значительной работы по логике» [29]. Более того, после обнаружения противоречия Фреге два семестра не читал лекций в Иенском университете, профессором которого состоял, а потом, возобновив их, читал лекции по «записи в понятиях» и основаниям геометрии, но не по основаниям арифметики [30].

До конца дней он пытался найти выход из возникшей трудности обоснования арифметики, возложив все надежды на геометрию, — идя от нее, он пытался наметить пути обоснования и арифметики, и всей математики [31].

Но как бы нас ни трогала судьба Фреге, в первую очередь нам интересно, во что вылился логицизм как течение в основаниях математики и что стало с теоретико-множественной концепцией ее обоснования. Теории обладают значительно большей жизнеспособностью и стойкостью, чем люди. Что касается логицизма, то его взялся отремонтировать сам «разрушитель» — Бертран Рассел. Вместе с Альфредом Уайтхедом он издал в 1910—1913 годах труд «Principia Mathematica», в котором излагался новый вариант логико-множественного подхода к арифметике, где с помощью некоторых ограничений, наложенных на процесс формирования «вторичных» множеств приведенный в письме Рассела парадокс был исключен [32]. Однако система Рассела — Уайтхеда оказалась слишком громоздкой и базирующейся на допущениях, которые далеко не всем математикам и логикам представлялись убедительными [33].

Возникшие трудности были сигналом тревоги для тех специалистов, которые «отвечали» за основания математики. Источник противоречия, возникшего у Фреге, был, очевидно, в самом построении рассуждений. Поэтому надо было по-новому взглянуть на весь процесс математического доказательства и прежде всего проанализировать лежащие в его основе допущения. Так началась великая переоценка математических ценностей, которая далеко еще не закончилась и к настоящему времени, но уже дала ценнейшие плоды не только в математике и логике, но и в осмысливании проблем человеческого познания и его возможностей в создании машинных «усилителей интеллекта».

Мы уже сказали, что первой математической реакцией на трудности, обнаруженные при последовательном проведении теоретико-множественной установки в математике, они выразились не только в парадоксе Рассела, но и в ряде других формально-логических противоречий в канторовской теории, некоторые из которых были сформулированы даже раньше, чем противоречие в системе Фреге, были «ремонтные меры», предпринятые Расселом. Но этот мыслитель продолжал стоять на теоретико-множественной позиции.

Поэтому естественно, что нашлись люди, которые сочли эти меры полумерами и призвали математический мир пойти в отказе от прежнего образа мыслей гораздо дальше. Реформы ничего не дадут, провозгласили они, нужна революция! Одним из наиболее «левых» был голландский математик, уже получивший к тому времени известность своими работами в области топологии, Луитцен Ян Эгбертус Брауэр (1881—1966) [1]

При изложении платформы Брауэра возникают большие трудности, связанные с несколькими причинами. Брауэр все свои главные статьи по философии математики писал по-голландски, употребляя, как заявляют переводчики, специфические и тяжеловесные выражения, которым трудно найти эквиваленты в других языках. Он, по-видимому, не считал, что его философско-математические убеждения можно достаточно ясно объяснить другим людям; скорее, он носил в себе определенные ощущения того, какой, по его мнению, должна быть математика. Позиция Брауэра менялась и уточнялась с течением времени, и нет никакой гарантии, что многочисленные ее толкования достаточно правильны.