Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Срабатывание контакта (то есть переход в рабочее состояние) зависит от внешнего воздействия на выключатель (реле), который им управляет. Один и тот же выключатель может управлять многими контактами — замыкающими и размыкающими. Очевидно, что прохождение тока по схеме, состоящей из контактов, соединенных проводами, зависит от ихсостояния, которое, в свою очередь, определяется воздействиями на управляющие ими выключатели.

Рис. 3.

Схематическое изображение замыкающего (а) и размыкающего (б) контактов.

Будем истолковывать пропозициональные переменные как замыкающие контакты, управляемые соответствующими выключателями. Примем, что каждому вхождению данной переменной в формулу соответствует какой-то замыкающий контакт, управляемый выключателем, сопоставляемым с данной переменной. Например, в формуле (**) (А1 & ~(А2 V А1)) имеется два вхождения переменной A1, которые означают различные замыкающие контакты, управляемые, однако, одним и тем же выключателем. В качестве значений пропозициональной переменной примем два возможных состояния соответствующего ей замыкающего контакта. Под отрицанием переменной будем понимать размыкающий контакт, управляемый тем же выключателем, который «заведует» отрицаемой переменной. Очевидно, что если A и ~А — замыкающий и размыкающий контакты, управляемые (то есть одновременно переводимые в рабочее состояние) одним и тем же выключателем, то имеет место следующее: если один из них находится в состоянии проводимости, то другой — в состоянии непроводимости, и наоборот.

Истолкуем конъюнкциюкак последовательное, а дизъюнкцию— как параллельноесоединение контактов (и более общо, комплексов контактов, соединенных проводниками схем) (рис. 4). Это вполне естественно, так как при последовательном соединении контактов ток по цепи проходит лишь тогда, когда оба контакта находятся в состоянии проводимости, а при параллельном соединении для прохождения тока по цепи достаточно проводимости хотя бы одного из контактов.

Рис. 4.

Схемы последовательного и параллельного соединения двух контактов; схема a соответствует формуле (Ai & ~Aj), а схема б — формуле (Ai V ~Aj); i,j = 1, 2, 3,...

Импликацию и эквивалентно будем понимать подобно предыдущей интерпретации — как сокращение смысл которого расшифровывается с помощью знаков ~, & и V. Наша интерпретация не определяет, как понимать формулы (и как вычислять их значения в зависимости от значений, придаваемых их переменным), если в них имеется знак отрицания, действующий не на пропозициональную переменную, а на более сложную (под)формулу. Например, не ясно, как интерпретировать приведенную выше формулу (**). Поэтому условимся о следующем: всякая непосредственно не истолковываемая формула понимается как любая равная ей формула, в которой отрицания (если они есть) стоят только над переменными; значения непосредственно не истолковываемой формулы для любого распределения значений пропозициональных переменных совпадают со значением равной ей непосредственно истолковываемой формулы для тех же распределений значений. Так, формулу (**) можно понимать как формулу (А1 & (~A2 & ~A1), так как она равна формуле (**).

Теперь мы можем указать, что следует понимать под значением формулы — это либо проводимость, либо непроводимость соответствующей схемы, и определять ее значение для любого распределения значений входящих в нее - пропозициональных переменных, пользуясь таблицами, в которых вместо единиц стоят проводимости (п), а вместо нулей — непроводимости (н). При этом формулам, тождественно-равным единице, соответствуют всегда приводящие, а формулам, тождественно-равным нулю, — никогда не проводящие схемы. Очевидно, что верность равенства а = β в нашей интерпретации означает функциональную одинаковость схем, соответствующих формулам а и β — одинаковость их электрического состояния пои любых состояниях их контактов.

Рис. 5.

Схемное представление закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции. Как нетрудно убедиться, схемы а и б функционально одинаковы.