Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Всем семнадцати схемам аксиом в данной интерпретации соответствуют верные равенства, а правила вывода из верных равенств порождают верные равенства. Проверим» например, схему аксиом 5. Для этого по каждой из схем формул, составляющих левую и правую часть этого равенства, построим контактную схему (рис. 5). Составив таблицу проводимости обеих схем (см. табл. 11), убедимся в их функциональной одинаковости.

В силу данной интерпретации к исследованию контактных схем приложимым оказывается весь аппарат теории булевой алгебры. Становится возможным записывать схемы в виде аналитических выражений (формул), и по схемам определять соответствующие им формулы, упрощать схемы и т. п. Упрощение контактных схем, особенно решение задач их минимизации, то есть нахождения по данной схеме самой простой (содержащей наименьшее число контактов) функционально одинаковой с ней схемы» является весьма важным для автоматики.

Проиллюстрируем упрощение схемы с помощью изложенного нами аппарата. Дана схема, изображенная на Рис. 6, а.

По ней строится формула (А1 V (~A1&A2)) Упрощение этой формулы дает: (A1 V (~A1 & A2)) = (A1 V ~A1) & (A1 V А2)=(А1 V A2). Формуле (A1 V ~A2) соответствует более простая схема (рис. 6, б). Читателю предоставляется проверить функциональную одинаковость схем а и б, проследив их электрическое состояние при всех возможных состояниях их контактов [28] 59 28. Абстрактное понятие булевой алгебры есть достижение середины нашего века, в то время как его спецификации — на классах и высказываниях — восходят к логикам прошлого века. Применению аппарата булевой алгебры к исследованию релейно-контактных схем начало положили в 1935—1938 гг. В. И. Шестаков, А. Никасима и К. Шеннон, один из создателей кибернетики (см. его статью «Символический анализ релейных и переключательных схем», в русском переводе опубликованную в кн.: К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике. М., 1963). «Приоритет в применении аппарата математической логики к вопросам электротехники (связанным с построением релейно-контактных схем), — отмечает С. А. Яновская, принадлежит... В. И. Шестакову, работа которого «Алгебра релейно-контактных схем»... написанная еще в январе 1935г., к сожалению, не была своевременно опубликована, хотя и легла в основу его кандидатской диссертации» (Послесловие редакции в кн: А. Тарекии. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948. с. 320). .

После того как мы ознакомились с четырьмя интерпретациями одной и той же абстрактной системы — теории булевой алгебры (в узком смысле), возникает вопрос, как относятся друг к другу эти интерпретации. Ответ на него состоит в том, что они подобны друг другу, имеют одинаковую структуру. В самом деле: каждой булевой (булевской) формуле, тождественно-равной единице, взаимно однозначно соответствует некоторая тождественно-истинная форма логики высказываний — в логической интерпретации; каждой тождественно-истинной форме — классовая форма, задающая универсальное множество, а этой последней — всегда проводящая схема.

Аналогичное соответствие имеется и между формулами, тождественно-равными нулю, тождественно-ложными формами высказываний, классовыми формами, задающими пустое множество, и никогда не проводящими схемами. Перечень подобных соответствий может быть продолжен, однако и сказанного достаточно, чтобы сделать важный вывод: проводя исследования в одной из этих систем, мы его результаты можем перенести на любую другую. В частности, изучение электрических схем, состоящих из контактов, можно заменить изучением булевых функций.

В этой важнейшей идее подобия (уточняемой с помощью понятия изоморфизма и его обобщений) различных систем и в конечном счете основанной на этой идее процессе моделирования — базируются кибернетические исследования, направленные на автоматизацию логических процедур. Но какой длинный путь должна была проделать наука, чтобы прийти к ясному пониманию этого!

рис. 6. Пример функционально одинаковых схемразличной сложности; схема б проще схемы а, так как содержит меньше контактов.

Теоретическую математику иногда представляют себе как концентрированное воплощение отвлеченной мысли, не замутненной никакой утилитарной стороной дела, которую она оставляет прикладной математике и техническим дисциплинам. Такой взгляд на математику обнаруживается в высказываниях многих выдающихся ученых. «Чистая математика в ее современном виде может быть названа самым оригинальным созданием человеческого духа», сказал Альфред Уайтхед. «Математик, который не есть отчасти и поэт, никогда не будет настоящим математиком» - сказал Карл Вейерштрасс. «Математика — это единственная настоящая философия» - сказал лорд Кельвин [1] 60 1. Эти — и другие — высказывания выдающихся мыслителей о математике см. в кн.: Е. Т. Веll. Men of Mathematics. N. Y. 1962, XV—XVII. .