Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Возьмем конъюнкцию наших посылок и исключим из нее знаки → : ((А1 → ~А2) & (A3 → А1)) = ((~А1 V ~А2) & (~A3 V A1)). Но в силу (*): ((~A1 V ~A2) & (~А3 V A1)) = ((A1 V ~A2) & (~A3 V A1) & (~A3 V ~A2))

(здесь роль α играет формула A1 роль β — формула ~A2 роль γ — формула ~A3)- Но очевидно, что из конъюнктивной формулы, сколько бы членов она ни имела, следует каждый ее член (так как не может быть, чтобы конъюнктивная формула была истинна, а какой-либо ее член — нет). Значит, если конъюнкция наших посылок истинна, истинна и формула (~A3 V ~A2) (поскольку она есть один из членов трехчленной конъюнкции, равной конъюнкции посылок). Значит, (~A3 V ~A2) есть следствие из посылок. Но в силу определения (~A3 V ~A2) = (A3 → ~A2)- Задача решена.

Тождественно-истинные высказывания служат для выражения логически правильных форм рассуждений. Для иллюстрации этого положения приведем решение задачи восходящей к немецкому логику и математику Э. Шредеру — одному из продолжателей алгебро-логической линии исследований, начало которой было положено Булем [19] 51 19. Эрнет Шредер (E. Schroder, 1841—1902) является автором трехтомных «Лекций по алгебре логики» (Vorlesungen uber die Logik. Bd. 1-3, Leipzig, 1890—1905), знаменующих собой — вместе с трудами русского логика и астронома П. С. Порецкого (1846—1907) — вершину развития алгебры логики в прошлом столетии. Задача, которая приводится ниже, заимствована из первого тома «Лекций». Эту задачу приводила в своих лекциях по математической логике в Московском университете С. А. Яновская; мы приводим задачу в ее формулировке. . «Один химик, имея в виду построить на этом дальнейшие заключения, выдвинул утверждение: «Соли, которые не окрашены, суть соли, которые не являются органическими телами, или суть органические тела, которые не окрашены». Другой химик с этим не согласился. Кто был прав?»

В рассуждении первого химика можно выделить следующие элементарные высказывания (суждения): «Нечто есть соль», «Нечто есть органическое тело» и «Нечто окрашено». Все рассуждение можно представить в виде следующего сложного условного суждения: «Если нечто есть соль и (это нечто) не окрашено, то (это нечто) есть соль и не есть органическое тело или есть органическое тело и не окрашено». Заменив элементарные высказывания соответственно переменными А1 A2 и A3, а вместо логических союзов «и», «или» и «если..., то» употребив знаки &, V и →, мы можем представить логическую форму этого сложного высказывания следующим выражением: ((А1 & ~A3) → ((A1 & ~A2) V (А2 & ~A3))). Для решения спора между двумя химиками надо определить, представляет ли оно тождественно-истинное высказывание.

Проведал соответствующие преобразования, на этот раз без объяснений (мы предоставляем читателю самостоятельно определить те схемы аксиом нашего исчисления, которым мы пользуемся на каждом шаге).

В полученной на последнем шаге двучленной конъюнкции в каждом члене (представляющем собой дизъюнкцию пропозициональных переменных или их отрицаний) имеется 5 обязательно какая-то переменная и ее отрицание. Следовательно, оба члена конъюнктивной формы тождественно-истинны и, значит, тождественно-истинна и она сама. Итак, рассуждение первого химика было логически правильным, а его оппонент допустил ошибку.

Обратим теперь внимание на то, что в обеих рассмотренных интерпретациях фигурировали множества элементов, являющихся областями значений пропозициональных переменных; именно на этих множествах получали определение операции ~, &, V, свойства которых были ранее установлены равенствами 1—17 из пункта IV, и в этих же множествах находились элементы — результаты применений операций (последнее свойство называется замкнутостью множества относительно данных операций). Тем самым эти множества составляют то, что называется булевыми алгебрами. Булева алгебра—это любое множеством объектов, для которых определены одна одночленная (одноместная, унарная) операция (~) и две двучленных (двуместных, бинарных) операции (&, V) причем множество М замкнуто относительно этих операций; в нем имеются объекты, соответствующие константам 0 и 1 рассмотренного нами исчисления (нуль и единица булевой алгебры); одночленная операция, которую мы назвали отрицанием, подчиняется закону снятия двойного отрицания, а двучленные операции, которые мы назвали конъюнкцией и дизъюнкцией, обе коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны одна относительно другой, подчиняются законам поглощения и, вместе с отрицанием, законам Де Моргана, а также законам, в которых фигурируют 0 и 1 (законы 14—17) (ср. с. 55) [20] 52 20. Впрочем, операции булевой алгебры можно задавать указанием и других наборов их свойств. О булевых алгебрах см., например: И. М. Яглом. Алгебра Буля.— В сб.: «О некоторых вопросах современной математики и кибернетики». М., 1965. . В первой из наших интерпретаций булевой алгеброй является множество из двух элементов — 0 и 1, во второй — множество истинностных значений (впрочем, можно считать, что булевой алгеброй здесь было множество высказываний [21] 53 21. Напоминаем, что здесь высказывание понимается «классически», то есть как выражение либо истинное, либо ложное, но не то и другое вместе. . понимаемых, однако, так, что высказывания, имеющие одно и то же истинностное значение, не различаются) [22] 54 22. При другом подходе булевой алгеброй для логической интерпретации нашего аппарата можно считать множество форм высказываний (рассматриваемых с точностью до отождествления равносильных форм) вместе с заданными на них операциями ~, &. V - такая булева алгебра высказываний оказывается алгеброй Линденбаума — Тарского, о которой см.: Е. Расёва, Р. Сикорскии. Математика метаматематики. М., 1972, с. 282 и далее. ; как мы убедимся ниже, имеются и другие интерпретации булевой алгебры.