Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Для завершения интерпретации нам осталось только установить, при каких условиях равенство α = β следует признать верным (истинным). Будем считать, что α = β есть верное равенство, если α и β задают одну и ту же функцию, то есть, что если построить таблицы, соответствующие формулам α и β, таблицы эти полностью совпадут [14] 45 13. С учетом интерпретации констант 0 и 1, которая будет дана ниже. .

Нетрудно проверить, что каждая из 17 схем аксиом задает верное равенство. Проверим это, например, для схемы аксиом 6 (табл. 8).

Мы видим, что колонки нулей и единиц для схем формул (α V (β & γ)) и ((а V β) & (α V γ)) создают, что означает: при любом выборе α, β, γ они переходят в пару формул, задающих одну и ту же функцию. Таким образец, можно сказать, что схема аксиом 6 в нашей интерпретации оказывается схемой верных равенств.

Наконец, нетрудно проверить (эту проверку мы предоставляем читателю), что, действуя по нашим правилам вывода, мы из верного равенства всегда будем выводить верное же равенство.

В силу оказанного мы можем мыслить задаваемый нашим исчислением процесс порождения верных равенств. В этом процессе участвуют схемы аксиом, каждая из которых порождает бесконечно много верных равенств, и правила [b], при каждом применении! которых к верным равенствам порождается верное равенство. Как конкретно проходит подобный процесс порождения, мы покажем в связи со следующей интерпретацией — логической.

Логическая интерпретация (на высказываниях)

Будем понимать под высказыванием выражение некоторого языка (безразлично какого —естественного, например русского, или какого-либо искусственного, например алгоритмического, применяемого в программировании! ЭВМ), которое либо истинно, либо ложно (и не может быть тем и другим одновременно). Назовем истинность («истинно») и ложность («ложно») истинностными значениями высказываний. Будем считать, что на место пропозициональных переменных в формулы подставляются высказываний при этом если подставляется высказывание, обладающее истинностным значением «истинно» (соответственно «ложно»), то его же принимает и та пропорциональная переменная, на место которой подставлено данное высказывание.

Связки определим так же, как и в первой интерпретации, только вместо 1 в таблицах будем вписывать букву «и» («истинно»), а вместо 0 — «л» («ложно»). Тогда операция ~ окажется операцией обычного отрицания высказываний, формула ~α походит в истинное высказывание, если а при данной подстановке истинностных значений вместо всех своих переменных переходит в ложное высказывание, и в ложное высказывание, если а переходит в истинное высказывание [15] 47 15. Вместо слов «формула а при данных значениях своих переменных переходит в истинное (или ложное) высказывание» мы будем употреблять и такое выражение: «формула а принимает такое-то (истинностное) значение», а также говорить: «формула а истинна (ложна)». ; операция & (конъюнкция) окажется соответствующей логическому союзу «и» и будет порождать истинное высказывание вида (α & β) тогда, и только тогда, когда а и β истинны (то есть интерпретируются истинными высказываниями); операция V будет соответствовать слабой дизъюнкции, то есть соединительно-разделительному союзу «или» естественного языка: формула (а V β) принимает значение «истинно» тогда, когда хотя бы одна из двух формул, а, β, переходит в истинное высказывание. Что касается введенных по определению знаков → и ≡, то первый из них соответствует логическому союзу «если..., то» (логическая операция импликация ), а второй — союзу «если, и только если,..., то» (или «тогда, и только тогда, когда») (логическая операция эквиваленция).

Нетрудно убедиться, что (α → β) переходит в ложное высказывание, когда а (посылка, или антецедент, импликативного выражения) принимает значение «истинно», а β (заключение, или консеквент) — значение «ложно», в остальных же случаях импликативное выражение истинно; эквивалентность (а ≡ β) переходит в истинное высказывание в том, и только том, случае, когда а и β принимают одно и то же истинностное значение [16] 48 16. В связи с данной интерпретацией заметим, что со знаками → и ≡ можно было с самого начала поступить иначе: не вводить их определениями (как сокращения), а включить в сам язык формальной системы — в ее алфавит (расширив соответствующим образом пункт I в)). Это приведет к расширению понятия формулы и добавлению к системе постулатов схем аксиом для → и ≡. А именно, в пункт II (в) добавляется- «если а и β — формулы, то (а → β) и (а ≡ β) — тоже формулы», а к системе постулатов IV[a] присоединяются: 18. (а → β) = (~а V β) и 19. (а ≡ β) = (~а V β) & (а V ~β)). Пункт V при этом должен быть удален. .