Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

а) Пропозициональные переменные: A1 A2, A3, ...; число пропозициональных переменных не ограничено.

б) Константы: 0, 1.

в) Логические связки: ~, &, V (эти знаки носят название соответственно отрицания, конъюнкции и дизъюнкции ).

( ~ = ˥)

г) Знак отношения: = (знак равенства).

д) Скобки : (,) (левая и правая).

Других знаков алфавит не содержит.

Исчисление строится так, что не всякая конечная последовательность знаков его алфавита является формулой. Формулы — это такие последовательности знаков алфавита (или, как говорят иначе, такие выражения или слова в алфавите), которые удовлетворяют следующему определению.

II.Формулы.

(а) Каждая пропозициональная переменная есть формула.

(б) Константы 0 и 1 суть формулы.

(в) Если α — формула, то ~α —тоже формула; если α и β — формулы, то (α & β) и (α V β) также являются формулами [3] 5 3. Формулы вида (а & β) и (а V β) мы будем называть соответственно конъюнктивной и дизъюнктивной формулами (или формами, когда появится понятие формы), иногда же просто «конъюнкциями» и «дизъюнкциями». .

(г) Других формул, кроме получаемых по правилам (а), (б) и (в), быть не может.

В этом определении в пункте (в) буквы α и β, не принадлежащие нашему алфавиту (и потому называемые метазнаками [4] 36 4. Метазнак (греч. «мета» — за, после) — знак, обозначающий знак или конструкцию из знаков данного алфавита и не принадлежащий к этому алфавиту. В данном случае метазнаки обозначают произвольные формулы. ), означают произвольные конечные последовательности знаков алфавита.

Данное выше определение формул называется индуктивным. Индуктивные определения широко распространены в современной математике, логике, основаниях математики. Они позволяют вполне точно устанавливать, подпадает ли любой данный объект некоторой области под определяемое понятие. Сформулированное выше определение дает возможность установить, является ли любое данное слово нашего алфавита формулой или нет — установить это, «идя обратным ходом» и рано или поздно добираясь до пропозициональных переменных или констант (если слово окажется формулой).

Ознакомимся подробнее с тем, как «работает» данное определение. Докажем, например, что слово (A1 & ~(A2 V A1) не есть формула. Предположим противное: это слово — формула. Тогда знак & мог возникнуть в ней лишь в результате применения пункта (в) определения формулы. Но это значит, что A1 и ~(А2 V А1 должны быть формулами. Однако хотя А1 и есть формула (по пункту (а) определения), слово ~(A2 V A1 формулой не является, ибо для того, чтобы слово, начинающееся со знака ~, было формулой, необходимо, чтобы справа от него стояла формула. Но слово (A2 V A1 не представляет собой формулы, так как оно могло бы быть формулой только по пункту (в), но тогда в нем крайним справа знаком должна была бы быть правая скобка, чего в действительности нет. Таким образом, (А2 V А1 — не формула, а значит, ~(A2 V A1 не формула и, следовательно, исследуемое выражение в целом — не формула. Однако если бы мы рассмотрели, скажем, слово (А1 & (A2 V A1)), то применяя аналогичное рассуждение, убедились бы, что оно является формулой.

III. Равенства.

Если α и β — формулы, то α = β — равенство. Ничто иное равенством не является.

Условимся о сокращении: вместо двух равенств α = β и β = γ разрешается писать просто

α = β = γ («цепочка равенств»)

Аналогично будут пониматься и более длинные цепочки. Так, запись

α = β = γ = δ имеет смысл

α = β, β = γ, γ = δ [5] 37 5. Строгое определение цепочки равенств выглядит следующим образом: а) каждое равенство есть (одночленная) цепочка равенств; б) если Х — цепочка равенств, в которой последней формулой справа является формула φ и φ=χ;, то Х=χ — тоже цепочка равенств: в) Других цепочек равенств, кроме устанавливаемых на основе пп. а) и б), не имеется.

IV. Постулаты.

[а]. Схемы аксиом.

1. (α & β) = (β & α) (закон коммутативности для конъюнкции).

2. (α V β) = (β V α) (закон коммутативности для дизъюнкции).

3. ((α & β) & γ) = (α & (β & γ)) (закон ассоциативности, или сочетательности, для конъюнкции).

4. ((α V β) V γ) = (α V (β V γ)) (закон ассоциативности для дизъюнкции).

5. (α & (β V γ)) = ((α & β) V (α & γ)) (закон дистрибутивности, или распределительности, конъюнкции относительно дизъюнкции).

6. (α V (β & γ)) = ((α V β) & (α V γ)) (закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции).

7. (α & (α V β)) = α (первый закон поглощения).

8. (α V (α & β)) = α (второй закон поглощения).