Борис Бирюков - Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Мы не даром вспомнили Лобачевского. Труд Буля явился одним из важных путей расширения рамок математики, постановки новых задач и появления у нее новых обязательств по отношению к другим сферам знания. Такой же значительный вклад сделали еще раньше Н. И. Лобачевский (1792—1855) и У. Р. Гамильтон (1805—1865). До начала XIX века математику рассматривали как прямое отражение свойств реальных вещей. Лобачевский и Гамильтон первыми в истории науки создали математические структуры, не «скопированные» непосредственно с каких-либо известных всем явлений, отношений или процессов. Такая самостоятельность формирования математических структур в то время выглядела столь непривычной, что сами их создатели были немало смущены собственными творениями и могли бы произнести слова, которые позже сказал Г. Кантор: «Вижу, но не верю».

Лобачевский, как известно, построил геометрию, в которой на плоскости через каждую точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой, и бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. В этой геометрии сумма углов треугольника оказывалась меньше 180 градусов. Поскольку геометрию в те времена считали наукой об измерениях твердых тел и расстояний, и этого же взгляда придерживался сам Лобачевский, он полагал, что его система окажется «неверной», если реальные прямые линии — скажем, световые лучи — не будут подчиняться ее законам. Для сравнительно небольших масштабов хорошо подходит обычная (эвклидова) геометрия: самое тщательное измерение, произведенное над треугольником, начерченным на бумаге, показывает, что сумма его углов составляет 180 градусов. Но может быть, думал Лобачевский, это лишь следствие неточности измерения, результат того, что мы с нашими инструментами не можем обнаружить небольшую недостачу суммы углов. Возможно, если измерить углы громадного треугольника, со сторонами в миллионы километров, выяснится, что в таких масштабах начинает уже явно действовать новая геометрическая система, и, следовательно, завоевывает свое право на жизнь новый вариант пятого постулата Эвклида. Чтобы проверить свою геометрию, Лобачевский собирался провести серию астрономических наблюдений.

С таким же психологическим барьером было связано создание Гамильтоном кватернионов. Гамильтон искал аналог комплексных чисел, интерпретируемый в трехмерном пространстве (обычные комплексные числа изображаются точками на плоскости). Он искал такие числа в течение пятнадцати лет, но безрезультатно. Это стало для него некой навязчивой идеей (говорят, что его домашние каждое утро спрашивали его за завтраком: «Ну как, нашел ты свои кватернионы?»). И вот, 16 октября 1843 года во время прогулки Гамильтона озарила неожиданная идея: все трудности возникали из-за того, что в течение всех этих поисков он постоянно предполагал, что операция умножения новых чисел должна подчиняться закону коммутативности, то есть, что для них, как и для обычных комплексных (и, конечно, действительных) чисел справедливо утверждение: от перестановки сомножителей произведение не меняется. А кто сказал, что этот закон универсален, обязателен для всех типов чисел? Когда требование коммутативности умножения было снято, работы осталось на несколько минут. Собственно, основные расчеты, связанные с построением системы кватернионов, были сделаны тут же, в уме (Гамильтон написал основную формулу на граните моста, по которому в тот момент проходил с женой). Сконструировав кватернионы, Гамильтон смотрел на них с тем же удивлением, с каким Лобачевский смотрел на свою геометрию: ведь все известные вычислительные процессы коммутативны, чему же «подражают» эти странные числа? Их поведение, вероятно, выглядело тогда просто мистическим.

Сейчас, по прошествии почти полутора сотен лет, чувства Лобачевского и Гамильтона могут показаться наивными. Но нельзя упускать из вида, что с тех пор произошло коренное изменение во взгляде на роль и место математики в системе человеческого знания. В наши дни математика обязана не только строить формализованные модели каких-то явлений, уже известных физике, биологии или другим областям знания, но и заготавливать формальные структуры впрок, для возможного использования в будущем. Теперь математик зачастую совершенно не интересуется, соответствует ли его конструкция чему-то уже познанному в окружающем мире. Им движет в основном стремление усовершенствовать математику не как аппарат для описания чего-то, а как аппарат вообще. Он ищет возможности Для выявления новых связей между отраслями математики, для укорочения уже существующих связей, для упрощения теорий, для придания им компактности и ясности